小明在学习了矩形与旋转的知识后，对矩形的一条边进行旋转探究，下面是他的探究过程，请你对下列问题进行解答：如图，在矩形中，，，边绕点A顺时针旋转得到，作平分交于点P，连接．

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1. 小明在学习了矩形与旋转的知识后，对矩形的一条边进行旋转探究，下面是他的探究过程，请你对下列问题进行解答：

如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，边 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点P，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 初步探究

①如图1，若 $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点G，H，当 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 上时， $\text{[math]}$ ______， $\text{[math]}$ 的长度为______．

②如图2，当 $\text{[math]}$ 落在对角线 $\text{[math]}$ 上时，点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离为______．

(2) 深入探究

如图3，若 $\text{[math]}$ ，请用含x的代数式表示 $\text{[math]}$ 的值．

(3) 拓展探究

若 $\text{[math]}$ 与矩形 $\text{[math]}$ 的对角线垂直，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

矩形的性质; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形; 旋转的性质;

【答案】

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解答题困难

1. 在一个工厂的车间里，工人正在处理一块矩形的金属板 $\text{[math]}$ ，用于制作零件．金属板的长 $\text{[math]}$ 米，宽 $\text{[math]}$ 米．工人在 $\text{[math]}$ 边上确定了一个点P，使得 $\text{[math]}$ 米．

(1) 为了保证后续切割操作时的准确性，工人连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，并将 $\text{[math]}$ 绕点P逆时针旋转一定角度进行加工．旋转后 $\text{[math]}$ 与金属板的边 $\text{[math]}$ 相交于点E， $\text{[math]}$ 与金属板的边 $\text{[math]}$ 所在的直线相交于点F，如图1所示．由于零件的尺寸和形状有特定要求，为了合理规划切割和拼接方案，请你帮工人探究 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的数量关系．

(2) 为了进一步组装零件，工人以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为边构造矩形 $\text{[math]}$ ，如图2，在组装过程中发现，当 $\text{[math]}$ 的周长最小时，最省材料，求此时 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难

2. 如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，cosC＝ $\text{[math]}$ ， DC＝5，BC＝6，以点B为圆心，BD为半径作圆弧，分别交边CD、BC于点E、F．

（1）求sin∠BDC的值；

（2）联结BE，设点G为射线DB上一动点，如果△ADG相似于△BEC，求DG的长；

（3）如图2，点P、Q分别为边AD、BC上动点，将扇形DBF沿着直线PQ折叠，折叠后的弧D'F'经过点B与AB上的一点H（点D、F分别对应点D'，F'），设BH＝x，BQ＝y，求y关于x的函数关系式（不需要写定义域）．

解答题困难

3. 如图，已知点B坐标为 $\text{[math]}$ ，点C与点B关于原点对称，过点B作 $\text{[math]}$ 轴，交反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象于点A，若 $\text{[math]}$ 的面积为1．

(1) 求k的值；

(2) 如图2，点D在第二象限， $\text{[math]}$ 是直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求点D的坐标；

(3) 在（2）的条件下，点M为x轴上一点，点N为坐标平面内一点，若以A，D，M，N为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．

解答题困难