如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，cosC＝， DC＝5，BC＝6，以点B为圆心，BD为半径作圆弧，分别交边CD、BC于点E、F．（1）求sin∠BDC的值；（2）联结BE，设点G为射线DB上一动点，如果△ADG相似于△BEC，求DG的长；（3）如图2，点P、Q分别为边AD、BC上动点，将扇形DBF沿着直线PQ折叠，折叠后的弧D'F'经过点B与AB上的一点H（点D、F分别对应点D'，F'），设BH＝x，BQ＝y，求y关于x的函数关系式（不需要写定义域）．

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1. 如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，cosC＝ $\text{[math]}$ ， DC＝5，BC＝6，以点B为圆心，BD为半径作圆弧，分别交边CD、BC于点E、F．

（1）求sin∠BDC的值；

（2）联结BE，设点G为射线DB上一动点，如果△ADG相似于△BEC，求DG的长；

（3）如图2，点P、Q分别为边AD、BC上动点，将扇形DBF沿着直线PQ折叠，折叠后的弧D'F'经过点B与AB上的一点H（点D、F分别对应点D'，F'），设BH＝x，BQ＝y，求y关于x的函数关系式（不需要写定义域）．

【考点】

矩形的性质; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形;

【答案】

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解答题困难

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 如图，在Rt△ABC中， $\text{[math]}$ ，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，若BC＝6，sinA＝ $\text{[math]}$ ，求DE的长.

解答题容易

2. 如图，在矩形ABCD中，过点B作BE∥AC交DA的延长线于E，求证：BE=BD．

证明题容易

3. 如图，矩形 $\text{[math]}$ 和矩形 $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$ 成中心对称，已知 $\text{[math]}$ ，则阴影部分的面积是．

填空题容易

1. 如图，已知点B坐标为 $\text{[math]}$ ，点C与点B关于原点对称，过点B作 $\text{[math]}$ 轴，交反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象于点A，若 $\text{[math]}$ 的面积为1．

(1) 求k的值；

(2) 如图2，点D在第二象限， $\text{[math]}$ 是直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求点D的坐标；

(3) 在（2）的条件下，点M为x轴上一点，点N为坐标平面内一点，若以A，D，M，N为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．

解答题困难

2. 如图所示，在矩形ABCD中，E是AD边的中点， $\text{[math]}$ 于点F ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 求 $\text{[math]}$ ．

解答题普通

3. 【基础巩固】（1）如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E，F，G，H分别在线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

【尝试应用】（2）如图2，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E，F分别在线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

【拓展提高】（3）如图3，四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E为 $\text{[math]}$ 上一点，过点E作 $\text{[math]}$ 垂直 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点G．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题普通

1. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为.

填空题普通

2. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．分别以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．F为 $\text{[math]}$ 边上的一个动点（不与B、C重合），过点F的反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象与边 $\text{[math]}$ 交于点E，连接 $\text{[math]}$ ．

（1） $\text{[math]}$ ；

（2）将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，点C恰好落在边 $\text{[math]}$ 上的点G处，此时k的值为．

填空题普通

3. 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连结DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②tan∠CAD= $\text{[math]}$ ；③DF=DC；④CF=2AF，正确的是（）

A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④

单选题困难

1. 如图（1），在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．

(1) $\text{[math]}$ ____；

(2) 若点P是线段 $\text{[math]}$ 上一点，当 $\text{[math]}$ 是等腰三角形时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 如图（2），点E是边 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，则：① $\text{[math]}$ =_____；

②如图（3）分别以 $\text{[math]}$ 为边作矩形 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题困难

2. 在一个工厂的车间里，工人正在处理一块矩形的金属板 $\text{[math]}$ ，用于制作零件．金属板的长 $\text{[math]}$ 米，宽 $\text{[math]}$ 米．工人在 $\text{[math]}$ 边上确定了一个点P，使得 $\text{[math]}$ 米．

(1) 为了保证后续切割操作时的准确性，工人连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，并将 $\text{[math]}$ 绕点P逆时针旋转一定角度进行加工．旋转后 $\text{[math]}$ 与金属板的边 $\text{[math]}$ 相交于点E， $\text{[math]}$ 与金属板的边 $\text{[math]}$ 所在的直线相交于点F，如图1所示．由于零件的尺寸和形状有特定要求，为了合理规划切割和拼接方案，请你帮工人探究 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的数量关系．

(2) 为了进一步组装零件，工人以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为边构造矩形 $\text{[math]}$ ，如图2，在组装过程中发现，当 $\text{[math]}$ 的周长最小时，最省材料，求此时 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难

3. 已知矩形纸片 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿 $\text{[math]}$ 做匀速运动．点 $\text{[math]}$ 运动的同时，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 所在直线折叠，得到 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，点 $\text{[math]}$ 运动到 $\text{[math]}$ 中点时， $\text{[math]}$ 落在矩形 $\text{[math]}$ 内，则 $\text{[math]}$ ______；

(2) 点 $\text{[math]}$ 运动过程中， $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 边上时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ 直接写出线段 $\text{[math]}$ 的长．

$\text{[math]}$ 【延伸】若点 $\text{[math]}$ 到达 $\text{[math]}$ 点后继续匀速沿 $\text{[math]}$ 运动，直至到达点 $\text{[math]}$ 停止，设点 $\text{[math]}$ 的速度为 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 运动的整个过程中，求出 $\text{[math]}$ 能覆盖点K的时长（含边界）．