纵观古今，解码测量背后的数学智慧．

1. 纵观古今，解码测量背后的数学智慧．

(1) 【古】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．意思是把“矩（曲尺）”仰立放，可测物体的高度．如图，点B ， D ， E在同一水平线上， $\text{[math]}$ 与CD交于点 $\text{[math]}$ ．测得 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米，求树AB的高度．

(2) 【今】某综合实践活动小组，尝试通过利用无人机（无人机限高120米）测算某山体的海拔高度，设计了如下两种方案．请选择其中一种可行的测算方案，计算该山体的海拔高度（AB的长）。（精确到1米）

	测量示意图	方案说明
方案一		无人机位于海拔高度为60米的C处，测得与山顶 $\text{[math]}$ 处的仰角 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，与山脚 $\text{[math]}$ 处的俯角 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ．（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
方案二		当无人机位于海拔高度为60米的C处时，测得与山顶 $\text{[math]}$ 处的仰角 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ；当无人机垂直上升到海拔高度为113米的 $\text{[math]}$ 处时，测得与山顶处 $\text{[math]}$ 的仰角 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ．（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

【考点】

解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题; 等腰直角三角形; A字型相似模型; 相似三角形的判定-AA; 相似三角形的性质-对应边;

【答案】

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实践探究题普通

1. 定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．

(1) 如图 1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 上的点．求证：四边形 $\text{[math]}$ 是邻余四边形．

(2) 如图 2，在 $\text{[math]}$ 的方格纸中， $\text{[math]}$ 在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 是邻余线， $\text{[math]}$ 在格点上．

(3) 如图 3，在（1）的条件下，取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，求邻余线 $\text{[math]}$ 的长．

实践探究题困难

2. 某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图①所示．

(1) 如图 ②，在点 $\text{[math]}$ 观察所测物体最高点 $\text{[math]}$ ，当量角器零刻度线上 $\text{[math]}$ 两点均在视线 $\text{[math]}$ 上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为 $\text{[math]}$ ，设仰角为 $\text{[math]}$ ，请直接用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ ．

(2) 如图③，为了测量广场上空气球 $\text{[math]}$ 离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点 $\text{[math]}$ 分别测得气球 $\text{[math]}$ 的仰角 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，地面上点 $\text{[math]}$ 在同一水平直线上， $\text{[math]}$ ，求气球 $\text{[math]}$ 离地面的高度 $\text{[math]}$ ．

（参考数据： $\text{[math]}$

实践探究题普通

3. 双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七风塔构成．某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如表：

测量七凤塔高度
测量工具	测角仪、皮尺等	活动形式	以小组为单位
测量示意图		测量步骤及结果
		如图，步骤如下： ①在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BDG=37°； ②沿着CA方向走到E处，用皮尺测得CE＝24米； ③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BFG＝45°.
……

已知测角仪的高度为1.2米，点C、E、A在同一水平直线上．根据以上信息，求塔AB的高度．

（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

实践探究题普通