在中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，．

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1. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点B顺时针旋转得到 $\text{[math]}$ ，其中点A，C的对应点分别为点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，当点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 的延长线上时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图2，当点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 的延长线上时，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点M，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 如图3，连接 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点D，点E为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．在旋转过程中， $\text{[math]}$ 是否存在最小值？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的最小值；若不存在，请说明理由．

【考点】

等腰三角形的判定与性质; 旋转的性质; 三角形全等的判定-AAS; 瓜豆原理模型-点在直线上; 相似三角形的判定-AA;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，半圆 $\text{[math]}$ 的直径 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 在半圆 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证：点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点；

(2) 将点 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ．

①当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，求 $\text{[math]}$ 的长；

②当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难

(1) 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是BC上一点， $\text{[math]}$ 交AD于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （用图中已有线段表示）；

(2) 如图2，在 $\text{[math]}$ 中，M、N是AB上的两点，且满足 $\text{[math]}$ ，在BC上取一点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 分别交CM的延长线、CN于点P、Q ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 如图3，在正方形ABCD中，点 $\text{[math]}$ 是BC上一点，连结AE交BD于点 $\text{[math]}$ ，在AF上取一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求BE的长.

综合题困难

3. 数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？

经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．

小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

(1) 小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．

(2) 小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．

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