如图，是半圆的直径，圆心为，，是劣弧上一点，过点作的切线交的延长线于点，与交于点．

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1. 如图， $\text{[math]}$ 是半圆的直径，圆心为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是劣弧 $\text{[math]}$ 上一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的切线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交半圆于点 $\text{[math]}$ ，请用含 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ 的长，并求出当 $\text{[math]}$ 是多少时，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合．

【考点】

勾股定理; 圆周角定理; 相似三角形的判定-AA; 圆与三角形的综合; 垂径定理的推论;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是一条不过圆心 $\text{[math]}$ 的弦，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的三等分点，直径 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的切线交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的半径为5。

下面三个问题，依次按照易、中、难排列，对应的满分值为2分、3分、4分．请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答．

①若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

②若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长；

③若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．

综合题困难

2. 如图， $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与直径 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ 的长为．

(2) 如图2，在 $\text{[math]}$ 上取点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．

(3) 如图3，在（2）的条件下，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求线段 $\text{[math]}$ 的长．

综合题困难

3. 如图1， $\text{[math]}$ 是等腰 $\text{[math]}$ 的外接圆， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 所对弧上的任意一点，连结AD，将AD绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连结BD、DC、CE

(1) 求证： $\text{[math]}$ ．

(2) 如图2，若 $\text{[math]}$ ，

①求 $\text{[math]}$ 的值．

②当 $\text{[math]}$ 的度数与 $\text{[math]}$ 的度数之比为3时，求BD：DC的值．

综合题困难