综合与探究：在矩形中，，，点E，F分别在边，上，将沿直线折叠，点C的对应点为点G．

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1. 综合与探究：

在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E，F分别在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 折叠，点C的对应点为点G．

(1) 如图1，当点F与点B重合，点G落在 $\text{[math]}$ 上时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图2，当点E是 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ 时，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 如图3，当 $\text{[math]}$ ，点G恰好落在 $\text{[math]}$ 上时，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H，直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

直角三角形全等的判定-HL; 勾股定理; 矩形的性质; 正方形的判定与性质; 翻折变换（折叠问题）;

【答案】

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实践探究题困难

1. 课本再现：

(1) 下图所示的是北师大版九年级上册数学课本上的一道题：

※5．如图，在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F求 $\text{[math]}$ 的值．

如图1，连接PO ，利用 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积之和是矩形面积的 $\text{[math]}$ ，可求出 $\text{[math]}$ 的值，

请你写出求解过程．

(2) 知识应用：

如图，在矩形ABCD中，点M ， N分别在边AD ， BC上，将矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C处．

①如图2，P为线段MN上一动点（不与点M ， N重合），过点P分别作直线BM ， BC的垂线，垂足分别为E和F ，以PE ， PF为邻边作平行四边形PEGF ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求平行四边形PEGF的周长．

②如图3，当点P在线段MN的延长线上运动时，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．请写出GF与GE之间的数量关系：_▲_（用含m ， n的式子）

实践探究题困难

2. 如图，在△ABC中，已知∠BAC =45°，AD⊥BC于点 D，BD=2，DC=3，求AD 的长.

小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.

请按照小萍同学的思路，探究并解答下列问题：

(1) 分别以 AB，AC 为对称轴，作出△ABD，△ACD的轴对称图形，点 D 的对称点分别为E，F，延长 EB，FC相交于点G.求证：四边形AEGF 是正方形.

(2) 设 AD=x，利用勾股定理，建立关于 x的方程，求出 AD的长.

实践探究题困难

3. 数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，出示如图 $\text{[math]}$ 所示的长方形纸条 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．然后在纸条上任意画一条线段 $\text{[math]}$ ，将纸片沿 $\text{[math]}$ 折叠， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ．如图 $\text{[math]}$ 所示：

(1) 【基础回顾】在图 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ， ∠MKN=°；（直接写出答案）

(2) 【操作探究】改变折痕 $\text{[math]}$ 位置， $\text{[math]}$ 始终是三角形，请说明理由；

(3) 爱动脑筋的小明在研究 $\text{[math]}$ 的面积时，发现 $\text{[math]}$ 边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快研究出 $\text{[math]}$ 的面积最小值为 $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ 的大小可以为；

(4) 【拓展延伸】小明继续动手操作进行折纸，发现了 $\text{[math]}$ 面积存在最大值，请你求出这个最大值．

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