如图，在平面直角坐标系中，抛物线的函数图象与x轴交于两点，与y轴交于点C．

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1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 的函数图象与x轴交于 $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点C．

(1) 求该抛物线的函数表达式；

(2) 在直线 $\text{[math]}$ 下方的抛物线上有一动点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴的对称点，过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 轴，点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上一动点， $\text{[math]}$ 轴，垂足为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的面积取得最大值时，求 $\text{[math]}$ 的最小值；

(3) 将抛物线 $\text{[math]}$ 沿射线 $\text{[math]}$ 方向平移 $\text{[math]}$ 个单位长度得到新的抛物线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，在新抛物线 $\text{[math]}$ 上存在一点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ，请直接写出所有符合条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标．

【考点】

二次函数图象的几何变换; 待定系数法求二次函数解析式; 轴对称的性质; 二次函数-角度的存在性问题;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的解析式．

(2) 如图1，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上运动，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值，以及此时点 $\text{[math]}$ 的坐标．

(3) 将原抛物线沿 $\text{[math]}$ 轴向右平移1个单位长度，新抛物线与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是第一象限中新抛物线上一点，且点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 轴的距离等于点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，请写出所有符合条件的点 $\text{[math]}$ 的横坐标，并写出其中一个的求解过程．

解答题困难

2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，与x轴交于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的表达式；

(2) 如图，点 $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ 下方抛物线上的一动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴，垂足为点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 为抛物线对称轴上的一动点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当线段 $\text{[math]}$ 长度取得最大值时，求 $\text{[math]}$ 的最小值；

(3) 在（2）问 $\text{[math]}$ 取得最小值的条件下，连接 $\text{[math]}$ ，将抛物线沿射线 $\text{[math]}$ 方向平移，使得点 $\text{[math]}$ 在新抛物线的对称轴上， $\text{[math]}$ 是新抛物线上的一个动点，当 $\text{[math]}$ 时，直接写出所有符合条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标．

解答题困难

3. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

(1) 求该抛物线的函数解析式；

(2) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是抛物线上的两点，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 将 $\text{[math]}$ 平移至 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点能否为点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ？若能，求移动的最短路程；若不能，请说明理由；

(4) 直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，把抛物线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 所围成的封闭图形的边界上横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，若在直线 $\text{[math]}$ 的两侧的“美点”个数之比为1：2，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题普通