如图，点O和点O'分别是正方形ABCD和正方形A'B'C'D'对角线的交点，边且过点O，与边BC交于点E，A'D'与边DC交于点F，连接OO'，已知， .

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1. 如图，点O和点O'分别是正方形ABCD和正方形A'B'C'D^'对角线的交点，边 $\text{[math]}$ 且过点O，与边BC交于点E，A'D'与边DC交于点F，连接OO'，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求证：重叠部分的四边形A'PCE是矩形.

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求a的值.

(3) 若正方形ABCD和正方形A'B'C'D'分别绕点O和点O'顺时针旋转相同的角度后，重叠部分的四边形恰好为正方形，且 $\text{[math]}$ ，求重叠部分正方形的边长.

【考点】

勾股定理; 矩形的判定与性质; 正方形的性质; 三角形全等的判定-SAS; 解直角三角形—边角关系;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 4 ，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 运动，连结 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边在其右侧作正方形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 在点 $\text{[math]}$ 的运动过程中，点 $\text{[math]}$ 的位置也随之改变，则点 $\text{[math]}$ 始终在直线 $\text{[math]}$ 上吗？如果在，请给出证明，如果不在，请说明理由．

(2) 当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上运动时， $\text{[math]}$ 的面积如何变化？请写出推理过程．

综合题普通

2. 如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，用x表示DF的长.

综合题普通

3. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .

(1) 如图1，当点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点时，

① $\text{[math]}$ 的长为；

②延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是；

(2) 如图2，当点 $\text{[math]}$ 不是线段 $\text{[math]}$ 的中点时，画 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 的异侧），使 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .

①按要求补全图形；

②求 $\text{[math]}$ 的长.

综合题困难