如果三角形的两个内角与满足＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．

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1. 如果三角形的两个内角 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．

(1) 若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝°；

(2) 如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．

(3) 如图②，在四边形ABCD中，AB＝7，CD＝12，BD⊥CD，∠ABD＝2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”．求对角线AC的长．

【考点】

相似三角形的判定与性质; 定义新运算;

【答案】

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综合题困难

1. 定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线.

(1) 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点。求证：四边形 $\text{[math]}$ 是邻余四边形.

(2) 如图2，在 $\text{[math]}$ 的方格纸中，A， $\text{[math]}$ 在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形 $\text{[math]}$ ，使AB是邻余线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在格点上.

(3) 如图3，在（1）的条件下，取 $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求邻余线 $\text{[math]}$ 的长.

综合题普通

2. 定义：如果一个三角形中有一个角是另一个角的2倍，那么我们称这样的三角形为倍角三角形．根据上述定义可知倍角三角形中有一个角是另一个角的2倍，所以我们就可以通过作出其中的2倍角的角平分线，得出一对相似三角形，再利用我们学过的相似三角形的性质解决相关问题．请通过这种方法解答下列问题：

(1) 如图1，△ABC中，AD是角平分线，且 $\text{[math]}$ ，求证：△ABC是倍角三角形；

(2) 如图2，已知△ABC是倍角三角形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求AC的长；

(3) 如图3，已知△ABC中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求AC的长．

综合题普通

3. 下图中，四边形 $\text{[math]}$ 和四边形 $\text{[math]}$ 均为正方形，E为 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图一，两个正方形边长的比值 $\text{[math]}$ ．

(2) 如图二，连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的大小关系，并说明理由；

(3) 如图三，延长 $\text{[math]}$ 至点M，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点P， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点N．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题困难