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1.

(1) 问题发现

如图 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等边三角形，点 $\text{[math]}$ 在同一直线上，连接BE．

填空：

$\text{[math]}$ 的度数为；

$\text{[math]}$ 线段 $\text{[math]}$ 之间的数量关系为．

(2) 拓展探究

如图 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在同一直线上，CM为 $\text{[math]}$ 中DE边上的高，连接BE，请判断 $\text{[math]}$ 的度数及线段 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由．

(3) 解决问题

如图3，在正方形ABCD中， $\text{[math]}$ ，若点P满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，请直接写出点A到BP的距离．

【考点】

全等三角形的判定与性质; 等腰三角形的性质; 等边三角形的性质; 正方形的性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE

(1) 请判断：AF与BE的数量关系是，位置关系是 .

(2) 如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”，第（1）问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予说明

(3) 若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第（1）问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断.

综合题普通

2. 已知等腰△ABC中，AB＝AC，点D在直线AB上，DE∥BC，交直线AC于点E，且BD＝BC，CH⊥AB，垂足为H．

(1) 当点D在线段AB上时，如图①，求证DH＝BH+DE；

（提示：在DH上截取HM＝BH，连接CM，CD．）

(2) 当点D在线段BA延长线上时，如图②；当点D在线段AB延长线上时，如图③，直接写出线段DH，BH，DE之间的数量关系，不需要证明；

(3) 在（1）、（2）条件下，若CE＝7，BH＝3DE，则DH＝．

综合题普通

3. 如图，△ABC和△DBE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接CE．

(1) 如图1，若∠BAC＝∠BCA＝∠BDE＝∠BED＝55°

①求证：AD＝CE；

②求∠AEC的度数．

(2) 如图2，若∠ABC＝∠DBE＝120°，BM为△BDE中DE边上的高，CN为△ACE中AE边上的高，CN＝a，BM＝b试证明：AE＝ $\text{[math]}$ a+2 $\text{[math]}$ b．

综合题普通