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1.    
(1) 问题发现：

如图1，在等边三角形ABC中，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，NC与AB的位置关系为；
(2) 深入探究：

如图2，在等腰三角形ABC中，BA=BC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等腰三角形AMN，使∠ABC=∠AMN，AM=MN，连接CN，试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由；
(3) 拓展延伸：

如图3，在正方形ADBC中，AD=AC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作正方形AMEF，点N为正方形AMEF的中点，连接CN，若BC=10，CN= ，试求EF的长．
【考点】
全等三角形的判定与性质; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形;
【答案】

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综合题 困难
能力提升
真题演练
换一批
1. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，AC=BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．

(1) 如图1，若CE=CF，求证：DE=DF；
(2) 如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中：

①求证：AB2=4CE•CF；

②若CE=8，CF=4，求DN的长．
综合题 普通
2. 如图，已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，E为AB的中点，且EC、ED分别为∠BCD、∠ADC的角平分线，EF⊥CD交BC的延长线于点G，连接DG.
(1) 求证：CE⊥DE；
(2) 若AB=6，求CF·DF的值；
(3) 当△BCE与△DFG相似时， 的值是.
综合题 困难
3. 在 中， ，点D是 外一点，点D与点C在直线 的异侧，且点 不共线，连接 ．

 

(1) 如图1，当 时，画出图形，直接写出 之间的数量关系；
(2) 当 时，利用图2，继续探究 之间的数量关系并证明；

（提示：尝试运用图形变换，将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中）
(3) 当 时，进一步探究 之间的数量关系，并用含 的等式直接表示出它们之间的关系．
综合题 困难