在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，M是AD边的中点，P是AB边上的一个动点（不与A、B重合），PM的延长线交射线CD于Q点，MN⊥PQ交射线BC于N点。

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1. 在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，M是AD边的中点，P是AB边上的一个动点（不与A、B重合），PM的延长线交射线CD于Q点，MN⊥PQ交射线BC于N点。

(1) 若点N在BC之间时，如图：

①求证：∠NPQ＝∠PQN；

②请问 $\text{[math]}$ 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请举反例说明；

(2) 当△PBN与△NCQ的面积相等时，求AP的值.

【考点】

全等三角形的判定与性质; 矩形的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分∠DEB，F为CE的中点，连接AF，BF，过点E作EH∥BC分别交AF，CD于G，H两点．

(1) 求证：DE=DC；

(2) 求证：AF⊥BF；

(3) 当AF•GF=28时，请直接写出CE的长．

综合题困难

2. 如图，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在边BC，AD上，MN，EF交于点P，记k=MN：EF.

(1) 若a：b的值为1，当MN⊥EF时，求k的值。

(2) 若a：b的值为 $\text{[math]}$ ，求k的最大值和最小值。

(3) 若k的值为3，当点N是矩形的顶点，∠MPE=60°，MP=EF=3PE时，求a：b为的值。

综合题困难

3. 在矩形ABCD中，AD=3，CD=4，点E在CD上，且DE=1．

(1) 感知：如图①，连接AE，过点E作EF丄AE，交BC于点F，连接AE，易证：△ADE≌△ECF（不需要证明）；

(2) 探究：如图②，点P在矩形ABCD的边AD上（点P不与点A、D重合），连接PE，过点E作EF⊥PE，交BC于点F，连接PF．求证：△PDE和△ECF相似；

(3) 应用：如图③，若EF交AB于点F，EF丄PE，其他条件不变，且△PEF的面积是6，则AP的长为．

综合题普通