如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA＝ cm，OC＝8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒 cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．

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1. 如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA＝ $\text{[math]}$ cm，OC＝8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒 $\text{[math]}$ cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．

(1) 用t的式子表示△OPQ的面积S；

(2) 求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；

(3) 当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线y＝ $\text{[math]}$ x²＋bx＋c经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．

【考点】

相似三角形的判定与性质; 二次函数-动态几何问题; 四边形-动点问题;

【答案】

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综合题困难

1. 抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于另一点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点．与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为抛物线的顶点．

(1) 求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 点 $\text{[math]}$ 为抛物线上的点，且 $\text{[math]}$ 是直角三角形，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．

(3) 点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 轴上一动点，点 $\text{[math]}$ 为平面内任意一点，当以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是矩形，直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标．

综合题困难

2. 如图，已知二次函数y=﹣x²+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥ x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．

(1) 求该二次函数的解析式及点M的坐标；

(2) 若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；

(3) 点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写过程）．

综合题困难

3. 已知：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²﹣x+3（a≠0）交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线x=﹣2．

(1) 求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2) 若点P（0，t）是y轴上的一个动点，请进行如下探究：

探究一：如图1，设△PAD的面积为S，令W=t•S，当0＜t＜4时，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此时t的值；如果没有，说明理由；

探究二：如图2，是否存在以P，A，D为顶点的三角形与Rt△AOC相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（参考资料：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）对称轴是直线x= $\text{[math]}$ ）

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