问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG ∵M是的中点， ∴MA＝MC ……

0 返回出卷网首页

1. 问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是 $\text{[math]}$ 的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．

证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG

∵M是 $\text{[math]}$ 的中点，

∴MA＝MC

……

(1) 请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

(2) 实践应用：

①如图3，已知△ABC内接于⊙O，BC＞AB＞AC，D是 $\text{[math]}$ 的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为；

②如图4，已知等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D为 $\text{[math]}$ 上一点，连接DB，∠ACD＝45°，AE⊥CD于点E，△BCD的周长为4 $\text{[math]}$ +2，BC＝2，请求出AC的长．

【考点】

全等三角形的判定与性质; 垂径定理;

【答案】

您现在未登录，无法查看试题答案与解析。登录

综合题普通

1. 如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．

(1) 操作发现

如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：

② 线段DE与AC的位置关系是；

②设△BDC的面积为S₁ ， △AEC的面积为S₂ ，则S₁与S₂的数量关系是．

(2) 猜想论证

当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S₁与S₂的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．

(3) 拓展探究

已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S_△_DCF=S_△_BDE ，请直接写出相应的BF的长．

综合题普通

2. 如图，在四边形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，BE=DF，AE=CF．

(1) 求证：△AFD≌△CEB；

(2) 若∠CBE=∠BAC，四边形ABCD是怎样的四边形？证明你的结论．

综合题普通

3. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边在 $\text{[math]}$ 的另一侧作 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为射线 $\text{[math]}$ 上任意一点，在射线 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，当点 $\text{[math]}$ 落在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上时，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 如图2，当点 $\text{[math]}$ 落在线段 $\text{[math]}$ (不含边界)上时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；

综合题普通