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1. 如图，AB是⊙O的直径， ，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．

(1) 求证：直线BF是⊙O的切线；
(2) 若OB=2，求BD的长．
【考点】
全等三角形的判定与性质; 垂径定理; 切线的判定;
【答案】

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综合题 普通
能力提升
真题演练
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1. 问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是 的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．

证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG

∵M是 的中点，

∴MA＝MC

……

(1) 请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2) 实践应用：

①如图3，已知△ABC内接于⊙O，BC＞AB＞AC，D是 的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为；

②如图4，已知等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D为 上一点，连接DB，∠ACD＝45°，AE⊥CD于点E，△BCD的周长为4 +2，BC＝2，请求出AC的长．
综合题 普通
2. 如图，已知⊙O是以BC为直径的△ABC的外接圆，OP∥AC，且与BC的垂线交于点P，OP交AB于点D，BC、PA的延长线交于点E．

(1) 求证：PA是⊙O的切线；
(2) 若sinE= ，PA=6，求AC的长．
综合题 普通
3. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE.

(1) 求证：AE是⊙O的切线；
(2) 已知AE＝8cm，CD＝12cm，求⊙O的半径.
综合题 普通