在矩形中，连结，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着的路径运动，运动时间为t（秒）．过点E作于点F ，在矩形的内部作正方形．

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1. 在矩形 $\text{[math]}$ 中，连结 $\text{[math]}$ ，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着 $\text{[math]}$ 的路径运动，运动时间为t（秒）．过点E作 $\text{[math]}$ 于点F ，在矩形 $\text{[math]}$ 的内部作正方形 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图，当 $\text{[math]}$ 时，

①若点H在 $\text{[math]}$ 的内部，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

②当 $\text{[math]}$ 时，设正方形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的重叠部分面积为S ，求S与t的函数关系式；

(2) 当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，若直线 $\text{[math]}$ 将矩形 $\text{[math]}$ 的面积分成1︰3两部分，求t的值．

【考点】

全等三角形的判定与性质; 正方形的性质; 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例;

【答案】

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综合题困难

1. 如图1所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B、C、G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连接FM，易证：DM=FM，DM⊥FM（无需写证明过程）

(1) 如图2，当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；

(2) 如图3，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想．

综合题普通

2. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的一点，连接 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 点作 $\text{[math]}$ ，垂足为点 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ .

(2) 若正方形边长是5， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

综合题普通

3. 如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的动点，且AE=BF=CG=DH．

(1) 求证：△AEH≌△CGF；

(2) 在点E、F、G、H运动过程中，判断直线EG是否经过某一个定点，如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由.

综合题普通