如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且= ，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．

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1. 如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．

(1) 求证：△ACD是等边三角形.

(2) 连接OE，若DE=2，求OE的长.

【考点】

等边三角形的判定与性质; 切线的性质;

【答案】

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综合题普通

1. 已知：AB为⊙O的直径，AB=2，弦DE=1，直线AD与BE相交于点C，弦DE在⊙O上运动且保持长度不变，⊙O的切线DF交BC于点F．

如图1，若DE∥AB，求证：CF=EF；

如图2，当点E运动至与点B重合时，试判断CF与BF是否相等，并说明理由．

综合题困难

2. 已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．

(1) 如图1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，四边形ABCD是平行四边形，则∠ABC=；

(2) 如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4．求BD的长；

(3) 如图3，若∠ABC=30°，∠ACD=45°，AC=2，B、D之间距离是否有最大值？如有求出最大值；若不存在，说明理由．

综合题困难

3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= $\text{[math]}$ ，BC=3，△DEF是边长为a（a为小于3的常数）的等边三角形，将△DEF沿AC方向平移，使点D在线段AC上，DE∥AB，设△DEF与△ABC重叠部分的周长为T．

(1) 求证：点E到AC的距离为一个常数；

(2) 若AD= $\text{[math]}$ ，当a=2时，求T的值；

(3) 若点D运动到AC的中点处，请用含a的代数式表示T．

综合题普通