如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边AB上，以点A为圆心，线段AD的长为半径的⊙A与边AC相交于点E，AF⊥DE，垂足为点F，AF的延长线与边BC相交于点G，联结GE．已知DE=10，cos∠BAG= ，．求：

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1. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边AB上，以点A为圆心，线段AD的长为半径的⊙A与边AC相交于点E，AF⊥DE，垂足为点F，AF的延长线与边BC相交于点G，联结GE．已知DE=10，cos∠BAG= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求：

(1) ⊙A的半径AD的长；

(2) ∠EGC的余切值．

【考点】

勾股定理; 垂径定理; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题普通

1. 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，弦 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．

综合题普通

2. 我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如图1，已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．

(1) （概念理解）

若⊙O的半径为5，一条弦AB =8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为，最小值为．

(2) 如图2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC= 12，DH =7，CH =9，求证︰AB、CD互为“十字弦”；

(3) （问题解决）

如图3，在⊙O中，半径为 $\text{[math]}$ ，弦AB与CD相交于H，AB、CD互为“十字弦”且AB=CD， $\text{[math]}$ ，则CD的长度．

综合题困难

3. 如图，AB为⊙O直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD中点，连接CD，CA．

(1) 求证：∠ABD=2∠BDC；

(2) 过点C作CH⊥AB于H，交AD于E，求证：EA=EC；

(3) 在（2）的条件下，若OH=5，AD=24，求线段DE的长

综合题普通