已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，且对称轴为直线x=4．设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．

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1. 已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，且对称轴为直线x=4．设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．

(1) 求二次函数的解析式及顶点P的坐标；

(2) 如图1，在直线 y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

(3) 如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P₁MN．在动点M的运动过程中，设△P₁MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒．求S关于t的函数关系式．

【考点】

待定系数法求一次函数解析式; 二次函数图象与坐标轴的交点问题; 相似三角形的判定与性质; 二次函数-动态几何问题;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，抛物线y=﹣x²+2x+3与x轴相交的于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．

(1) 直接写出A，B，C三点的坐标和抛物线的对称轴；

(2) 连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点（P不与C，B两点重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．

①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形．

②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式；当m为何值时，S有最大值．

综合题普通

2. 综合与探究

如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．点M是y轴右侧抛物线上一动点，过点M作 $\text{[math]}$ 的平行线，交直线 $\text{[math]}$ 于点D，交x轴于点E．

(1) 请直接写出点A，B，C的坐标及直线 $\text{[math]}$ 的解析式；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求点D的坐标；

(3) 试探究在点M运动的过程中，是否存在以点A，C，E，M，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M的坐标，若不存在说明理由．

综合题困难

3. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点（点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧），与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为抛物线的顶点.

(1) 点 $\text{[math]}$ 的坐标是，点 $\text{[math]}$ 的坐标是；

(2) 过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值及直线 $\text{[math]}$ 的解析式；

(3) 在第（2）小题的条件下，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，过线段 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离等于点 $\text{[math]}$ 到原点 $\text{[math]}$ 的距离？若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

综合题困难