如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点．

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1. 如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点．

(1) 若BK= $\text{[math]}$ KC，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE= $\text{[math]}$ AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE= $\text{[math]}$ AD（n＞2），而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．

【考点】

角平分线的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，在△ABC中，点N为AC边的任意一点，D为线段AB上一点，若∠MPN的顶点P为线段CD上任一点，其两边分别与边BC，AC交于点M、N，且∠MPN+∠ACB=180°．

(1) 如图1，若AC=BC，∠ACB=90°，且D为AB的中点时，则 $\text{[math]}$ =，请证明你的结论；

(2) 如图2，若BC=m，AC=n，∠ACB=90°，且D为AB的中点时，则 $\text{[math]}$ =；

(3) 如图3，若 $\text{[math]}$ =k，BC=m，AC=n，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．（用k，m，n表示）

综合题普通

2. 如图，已知：在Rt△ABC中，斜边AB=10，sinA= $\text{[math]}$ ，点P为边AB上一动点（不与A，B重合），PQ平分∠CPB交边BC于点Q，QM⊥AB于M，QN⊥CP于N．

(1) 当AP=CP时，求QP；

(2) 若四边形PMQN为菱形，求CQ；

(3) 探究：AP为何值时，四边形PMQN与△BPQ的面积相等？

综合题困难

3. 下图中，四边形 $\text{[math]}$ 和四边形 $\text{[math]}$ 均为正方形，E为 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图一，两个正方形边长的比值 $\text{[math]}$ ．

(2) 如图二，连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的大小关系，并说明理由；

(3) 如图三，延长 $\text{[math]}$ 至点M，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点P， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点N．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题困难