在平面直角坐标系中，抛物线C：的对称轴是y轴，过点作一直线与抛物线C相交于P，Q两点，过点Q作x轴的垂线与直线相交于点A．

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1. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线C： $\text{[math]}$ 的对称轴是y轴，过点 $\text{[math]}$ 作一直线与抛物线C相交于P，Q两点，过点Q作x轴的垂线与直线 $\text{[math]}$ 相交于点A．

(1) 求抛物线C的解析式；

(2) 判断点A是否在直线 $\text{[math]}$ 上，并说明理由；

(3) 若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切．过抛物线C上的任意一点（除顶点外）作该抛物线的切线l，分别交直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 于点M，N，求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

勾股定理; 二次函数y=ax²+bx+c的图象; 二次函数y=ax²+bx+c的性质;

【答案】

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综合题普通

1. 已知抛物线C_n：y_n= $\text{[math]}$ x²+(n-1)x+2n (其中n为正整数)与x轴交于A_n ， B_n。两点(点A_n在B_n的左边)，

与y轴交于点D_n_。

(1) 填空：①当n=1时，点A₁的坐标为，点B₁的坐标为；

②当n=2时，点A₂的坐标为，点B₂的坐标为；

(2) 猜想抛物线C_n是否经过某一个定点，若经过请写出该定点坐标并给予证明：若不经过，请说明理由；

(3) 猜想∠A_nD_nBn²的大小，并给予证明。

综合题普通

2. 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴为直线 $\text{[math]}$ ，抛物线与x轴相交于A ， B两点，点A在点B的左侧，点 $\text{[math]}$ 为抛物线与y轴的交点．

(1) 求b和c的值．

(2) 在抛物线的对称轴上存在一点P ，使 $\text{[math]}$ 最短，请求出点P的坐标．

(3) 抛物线上是否存在一点Q ，使 $\text{[math]}$ 的面积等于 $\text{[math]}$ 的面积的4倍？若存在，求出点Q所有的坐标；若不存在，请说明理由．

综合题困难

3. 如图，抛物线y＝﹣ $\text{[math]}$ x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

(3) 连接AD并延长，过抛物线上一点Q（Q不与A重合）作QN⊥x轴，垂足为N，与射线交于点M，使得QM＝3MN，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

综合题普通