有一种落地晾衣架如图所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度，图是晾衣架的侧面的平面示意图，和分别是两根长度不等的支撑杆，夹角，，，．

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1. 有一种落地晾衣架如图 $\text{[math]}$ 所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角 $\text{[math]}$ 的度数来调整晾衣杆的高度，图 $\text{[math]}$ 是晾衣架的侧面的平面示意图， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别是两根长度不等的支撑杆，夹角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求A点离地面的高度 $\text{[math]}$ ；（参考值： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．）

(2) 调节 $\text{[math]}$ 的大小，使A离地面高度 $\text{[math]}$ 时，求此时C点离地面的高度 $\text{[math]}$ ．

【考点】

相似三角形的判定与性质; 解直角三角形的其他实际应用;

【答案】

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综合题普通

1. 有一只拉杆式旅行箱（如图），其侧面示意图如图所示，已知箱体长 $\text{[math]}$ ，拉杆 $\text{[math]}$ 的伸长距离最大时可达 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与水平地面切于点 $\text{[math]}$ ，在拉杆伸长至最大的情况下，当点 $\text{[math]}$ 距离水平地面 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 到水平面的距离 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 的半径长；

(2) 当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，某人将手自然下垂在 $\text{[math]}$ 端拉旅行箱时， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求此时拉杆 $\text{[math]}$ 的伸长距离（精确到 $\text{[math]}$ ，参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

综合题普通

2. 火车作为我国重要的交通运输形式之一，其轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全．我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷．某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究：

阅读概述	激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成像的位置也随之改变．可以通过成像的位移来计算物体实际的移动距离．
发现原理	被测量物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的距离，也就是图中点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 之间的距离．假设激光通过接收透镜后仍按照原直线方向传播，最后在光学成像设备上成像．
建立模型	如图，直线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 直线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 直线 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 垂直于 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，垂足分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
探究（1）	设 $\text{[math]}$ ，请用含 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的式子表示点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离．
探究（2）	已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长度．（结果精确到个位， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

综合题普通

3. 下图中，四边形 $\text{[math]}$ 和四边形 $\text{[math]}$ 均为正方形，E为 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图一，两个正方形边长的比值 $\text{[math]}$ ．

(2) 如图二，连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的大小关系，并说明理由；

(3) 如图三，延长 $\text{[math]}$ 至点M，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点P， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点N．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题困难