如图，请用尺规作图法，在矩形ABCD的边BC和AD上分别找一点E、F使得四边新AECF为菱形.（保留作图痕迹，不写作法）

1. 小惠自编一题： “如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．

小惠：	小洁：
证明： $\text{[math]}$ ，	这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．
$\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 是菱形．

若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打 “ √ ”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．

实践探究题容易

2. 求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程．

已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC ， BD交于点O ， ▲ ．

求证： ▲ ．

证明题容易

3. 如图，已知Rt△ABC，∠C=90°；

求作：一个面积最大的等腰直角△CDE，使等腰直角三角形的斜边CE在边BC上．

作图题容易

1. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，请利用尺规作图：分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上作点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，使四边形 $\text{[math]}$ 是菱形.（不写作法保留作图痕迹）

作图题普通

2. 图①、图②、图③均是 $\text{[math]}$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段 $\text{[math]}$ 的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，按要求在图①、图②、图③中以 $\text{[math]}$ 为边各画一个菱形 $\text{[math]}$ ．

要求：菱形 $\text{[math]}$ 的顶点C、D均在格点上，且所画的三个菱形不全等．

作图题普通

3. 如图正六边形ABCDEF．请分别在图1，图2中使用无刻度的直尺按要求画图．

(1) 在图1中，画出一个与正六边形的边长相等的菱形；

(2) 在图2中，画一个边长与正六边形的边长不相等的菱形．

作图题普通

1. 如图，小红在作线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段 $\text{[math]}$ 长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线 $\text{[math]}$ 即为所求．连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，根据她的作图方法可知，四边形 $\text{[math]}$ 定是（）

A. 矩形 B. 正方形 C. 菱形 D. 平行四边形

单选题容易

2. 如图，分别以线段 $\text{[math]}$ 的两个端点为圆心，大于 $\text{[math]}$ 的一半的长为半径画弧，两弧分别交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 一定是（）

A. 正方形 B. 矩形 C. 梯形 D. 菱形

单选题普通

3. 如图，分别以点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为圆心，以大于 $\text{[math]}$ 的定长 $\text{[math]}$ 为半径画弧，两弧相交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 是菱形的理由是．

填空题容易

1. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 的中点．

(1) 用尺规过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线，分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；（不写作法，保留作图痕迹）．

(2) 在（ $\text{[math]}$ ）的条件下，求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形．

证明题普通

(1) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点O是对角线 $\text{[math]}$ 的中点，用尺规过点O作 $\text{[math]}$ 的垂线，分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点E，F，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （不写作法，保留作图痕迹）

(2) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形．

(3) 进一步思考，如果四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形呢？请你模仿题中表述，直接写出你猜想的结论．

作图题普通

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$

(1) 尺规作图：作 $\text{[math]}$ 的垂直平分线交 $\text{[math]}$ 于点O，交 $\text{[math]}$ 于点D，在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上截取线段 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .（保留作图痕迹，标明相应字母，不写作法）

(2) 试猜想四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并进行证明．

作图题普通

1. 如图，分别以线段 $\text{[math]}$ 的两个端点为圆心，大于 $\text{[math]}$ 的一半的长为半径画弧，两弧分别交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 一定是（）

A. 正方形 B. 矩形 C. 梯形 D. 菱形

单选题普通

2. 如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是（）

A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 等腰梯形

单选题普通

3. 任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接EH，HF，FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是（　　）

A. △EGH为等腰三角形 B. △EGF为等边三角形 C. 四边形EGFH为菱形 D. △EHF为等腰三角形

单选题普通