如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形。

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1. 如图， $\text{[math]}$ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形。

(1) 求证： $\text{[math]}$ ABCD为矩形；

(2) 若AB=4，求 $\text{[math]}$ ABCD的面积。

【考点】

等边三角形的性质; 含30°角的直角三角形; 勾股定理; 平行四边形的性质; 矩形的判定;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，将边长为8的等边三角形 $\text{[math]}$ 置于平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，过点O作 $\text{[math]}$ 于点C，过点B作 $\text{[math]}$ 轴于点D．若动点E从原点O出发，沿线段 $\text{[math]}$ 向点A运动，动点F从点A出发，沿线段 $\text{[math]}$ 向终点C运动，两点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，点E的运动时间为t秒，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．

(1) 求点A、点D的坐标；

(2) 若 $\text{[math]}$ 的面积为S，请用含t的代数式表示S；

(3) 在坐标平面内是否存在一点M，使以A，B，D，M为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．

综合题困难

(1) 如图，在△ABC中，∠BAC=120°，∠B=30°，AD⊥AB ，垂足为A ， CD=1cm，求AB的长．

(2) 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于O ，且∠1=∠2，求证：四边形ABCD是矩形．

综合题普通

3. 如图，已知平行四边形ABCD，延长 $\text{[math]}$ 到E使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是矩形；

(2) 连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题普通