小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD.

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1. 小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD.

(1) [探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上.若AB＝1，求BC的长.

(2) [探究2]如图2，连结AC′，过点D′作 $\text{[math]}$ 交BD于点M，线段D′M与DM相等吗？请说明理由.

(3) [探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明.

【考点】

三角形全等的判定; 矩形的性质; 相似三角形的判定与性质; 旋转的性质;

【答案】

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实践探究题困难

(1) 【方法尝试】

如图1，矩形 $\text{[math]}$ 是矩形 $\text{[math]}$ 以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 所得的图形， $\text{[math]}$ 分别是它们的对角线．则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 数量关系，位置关系；

(2) 【类比迁移】

如图2，在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 绕点A在平面内逆时针旋转，设旋转角 $\text{[math]}$ 为α（ $\text{[math]}$ ），连接 $\text{[math]}$ ．请判断线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系和位置关系，并说明理由；

(3) 【拓展延伸】

如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，过点A作 $\text{[math]}$ ，在射线 $\text{[math]}$ 上取一点D，连接 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，请求线段 $\text{[math]}$ 的最大值．

实践探究题困难

2. 【问题原型】数学老师给学生布置了下面这个问题：

如图①，在等边 $\text{[math]}$ 中，点D为边 $\text{[math]}$ 上任意一点，连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点D顺时针旋转60°，得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ .