我们把宽与长的比为黄金比（）的矩形称为黄金矩形，如图，在黄金矩形ABCD中，， BC＝4，的平分线交AD边于点E，则AE的长为．

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1. 我们把宽与长的比为黄金比（ $\text{[math]}$ ）的矩形称为黄金矩形，如图，在黄金矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ， BC＝4， $\text{[math]}$ 的平分线交AD边于点E，则AE的长为．

【考点】

黄金分割;

【答案】

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填空题普通

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 已知线段AB=4，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，那么AP的长为．

填空题容易

2. 已知线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的黄金分割点，且 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

填空题容易

3. 已知线段AB=2cm，点C在线段AB上，且AC²=BC·AB ，则AC的长cm．

填空题容易

1. 已知点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一点.如果 $\text{[math]}$ 的比值为关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 的解，那么点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 阶黄金分割点.

已知 $\text{[math]}$ 阶黄金分割点作法如下：

步骤一：如图，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线 $\text{[math]}$ ，在垂线 $\text{[math]}$ 上取 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ；

步骤二：以点 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 为半径作弧交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ；

步骤三：以点 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 为半径作弧交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ；

结论：点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 阶黄金分割点.

⑴作法步骤一中，当 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的阶黄金分割点；

⑵作法步骤一中，当 $\text{[math]}$ （结果用 $\text{[math]}$ 的代数式表示）时，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 阶黄金分割点.

填空题困难

2. 大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（ $\text{[math]}$ ），如果AB的长度为8cm，那么PB的长度是cm．

填空题普通

3. 已知M是线段 $\text{[math]}$ 上的黄金分割点 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .

填空题普通

1. 神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家发现蝴蝶身长与双翅张开后的长度之比约为 $\text{[math]}$ ．这个数据体现了数学中的（）

A. 平移 B. 轴对称 C. 旋转 D. 黄金分割

单选题容易

2. 已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论正确的是（）

A. AB²=AC•BC B. BC²=AC•BC C. AC= $\text{[math]}$ BC D. BC= $\text{[math]}$ AB

单选题普通

3. 大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，P为线段 $\text{[math]}$ 的黄金分割点 $\text{[math]}$ ．如果 $\text{[math]}$ 的长度为 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 的长度是（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

1. 如图，已知点 $\text{[math]}$ 是线段AB的黄金分割点， $\text{[math]}$ ，以点 $\text{[math]}$ 为圆心，以AP长为半径画弧；再以点 $\text{[math]}$ 为圆心，以一定长为半径画弧，两弧交于点 $\text{[math]}$ ，连结AC，PC，BC ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ．

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求AC的长．

解答题普通

2. 已知线段 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 a 、b 、c 的值；

(2) 若线段 x 是线段 a 、b 的比例中项，求 x 的值；

(3) 将线段b按黄金分割比例分为两条线段，求黄金分割比例后的较长线段的长度；

计算题普通

3. 综合与实践

【问题提出】

勾股定理和黄金分割是几何学中的两大瑰宝，其中"贵金分割"给人以美感.课本第56页这样定义"黄金分割点"：如图1，点 $\text{[math]}$ 将线段AB分成两部分 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则称点 $\text{[math]}$ 为线段AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比.

(1) 【初步感知】

如图1，若 $\text{[math]}$ ，求临金比 $\text{[math]}$ 的值.

(2) 【类比探究】

如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是BC边上一点，AD将 $\text{[math]}$ 分割成两个三角形（ $\text{[math]}$ ），若 $\text{[math]}$ ，则称AD为 $\text{[math]}$ 的黄金分割线.

①求证：点D是线段BC的黄金分割点：

②若△ABC的面积为4，求△ACD的面积.

(3) 【拓展应用】

如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为A，B上的一点（不与A，B重合），过D作DE∥BC，交AC于E，BE，CD相交于 $\text{[math]}$ ，连接AF并延长，与DE，BC分别交于M，N.请问直线AN是 $\text{[math]}$ 的黄金分割线吗?并说明理由.