抛物线y＝x2－4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D.

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1. 抛物线y＝x²－4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D.

(1) 直接写出点B和点D的坐标；

(2) 如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝ $\text{[math]}$ 时，求点P的坐标；

(3) 如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E.设△BEQ和△BEM的面积分别为S₁和S₂ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值.

【考点】

锐角三角函数的定义; 二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数-动态几何问题;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，已知抛物线y=ax²+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．

(1) 求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；

(2) 当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB=75°，求出此时点P的坐标；

(3) 当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动，与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止，当两个移点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？

综合题困难

2. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在第一象限，点B在x轴正半轴上，AO=AB，OB=4，tan∠AOB=2，点C是线段OA的中点.

(1) 求点C的坐标；

(2) 若点P是x轴上的一个动点，使得∠APO=∠CBO，抛物线y=ax²+bx经过点A、点P，求这条抛物线的函数解析式；

(3) 在（2）的条件下，点M是抛物线图象上的一个动点，以M为圆心的圆与直线OA相切，切点为点N，点A关于直线MN的对称点为点D.请你探索：是否存在这样的点M，使得△MAD∽△AOB？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

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3. 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 恰好经过 $\text{[math]}$ 两点．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 点 $\text{[math]}$ 是抛物线上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的面积为6，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) 点 $\text{[math]}$ 是抛物线上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标．

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