已知，在内部作等腰，， .点为射线上任意一点（与点不重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交射线于点 .

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1. 已知 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 内部作等腰 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 为射线 $\text{[math]}$ 上任意一点（与点 $\text{[math]}$ 不重合），连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交射线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .

(1) 如图1，当 $\text{[math]}$ 时，线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是；

(2) 如图2，当 $\text{[math]}$ 时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

(3) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长（用含有 $\text{[math]}$ 的式子表示）.

【考点】

锐角三角函数的定义; 旋转的性质; 三角形的综合;

【答案】

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综合题困难

1. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D是 $\text{[math]}$ 边上的一点．

(1) 如图1，过点D作 $\text{[math]}$ 于点M ， $\text{[math]}$ 于点N ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 将 $\text{[math]}$ 沿着过点D的直线折叠，使点B落在 $\text{[math]}$ 边的点P处（不与点A、C重合），折痕交 $\text{[math]}$ 边于点E；

①如图2，当点D是 $\text{[math]}$ 的中点时，求 $\text{[math]}$ 的长度；

②如图3，设 $\text{[math]}$ ，若存在两次不同的折痕，使点B落在 $\text{[math]}$ 边上两个不同的位置，求a的取值范围．

综合题困难

2. 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，D为BC边上一点（不与点B，C重合）．将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则：

(1) ① $\text{[math]}$ 的度数是；

②线段AC，CD，CE之间的数量关系是．

(2) 如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请写出 $\text{[math]}$ 的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由；

(3) 如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接写出线段AD的长度．

综合题困难

3. 问题背景

(1) 如图（1）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是等边三角形， $\text{[math]}$ 可以由 $\text{[math]}$ 通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．

(2) 尝试应用

如图（2）．在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，分别以AC ， AB为边，作等边 $\text{[math]}$ 和等边 $\text{[math]}$ ，连接ED ，并延长交BC于点F ，连接BD ．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

(3) 拓展创新

如图（3）．在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将线段AC绕点A顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段AP ，连接PB ，直接写出PB的最大值．

综合题困难