在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点，点，与y轴交于点C．

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1. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点C．

(1) 求a，b的值；

(2) 如图1，点D在该抛物线上，点D的横坐标为 $\text{[math]}$ ，过点D向y轴作垂线，垂足为点E．点P为y轴负半轴上的一个动点，连接 $\text{[math]}$ 、设点P的纵坐标为t， $\text{[math]}$ 的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；

(3) 如图2，在（2）的条件下，连接 $\text{[math]}$ ，点F在 $\text{[math]}$ 上，过点F向y轴作垂线，垂足为点H，连接 $\text{[math]}$ 交y轴于点G，点G为 $\text{[math]}$ 的中点，过点A作y轴的平行线与过点P所作的x轴的平行线相交于点N，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点M，点R在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的解析式．

【考点】

待定系数法求一次函数解析式; 待定系数法求二次函数解析式; 三角形全等及其性质; 相似三角形的判定与性质; 等腰直角三角形;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（0，b）（b＞0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P′（点P′不在y轴上），连接PP′，P′A，P′C．设点P的横坐标为a．

(1) 当b=3时，

①求直线AB的解析式；

②若点P′的坐标是（﹣1，m），求m的值；

(2) 若点P在第一象限，记直线AB与P′C的交点为D．当P′D：DC=1：3时，求a的值；

(3) 是否同时存在a，b，使△P′CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由．

综合题困难

2. 若一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为 $\text{[math]}$ ，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象过A，B，C三点，如图（1）

(1) 求二次函数的表达式；

(2) 如图（1），过点C作 $\text{[math]}$ 轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若 $\text{[math]}$ 恰好平分 $\text{[math]}$ ．求直线 $\text{[math]}$ 的表达式；

(3) 如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

①当 $\text{[math]}$ 时，求点P的坐标；

②求m的最大值．

综合题困难

如图1，抛物线C₁： $\text{[math]}$ 与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，且顶点为C，直线y=kx+2经过A，C两点．

(1) 求直线AC的表达式与抛物线C₁的表达式；

(2) 如图2，将抛物线C₁沿射线AC方向平移一定距离后，得到抛物线为C₂ ，其顶点为D，抛物线C₂与直线y=kx+2的另一交点为E，与x轴交于M，N两点(M点在N点右边)，若 $\text{[math]}$ ，求点D的坐标；

(3) 如图3，若抛物线C₁向上平移4个单位得到抛物线C₃ ，正方形GHST的顶点G，H在x轴上，顶点S，T在x轴上方的抛物线C₃上，P（m，0）是射线GH上一动点，则正方形GHST的边长为，当m=时， $\text{[math]}$ 有最小值．

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