点在矩形的边上，在边上，、的延长线上交于点．

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1. 点 $\text{[math]}$ 在矩形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的延长线上交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，求证：点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点；

(2) 若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点：

$\text{[math]}$ 如图2，连接 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

$\text{[math]}$ 如图3，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的值为 ▲ ．

【考点】

平行线的性质; 等腰三角形的性质; 矩形的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

1. 在 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ .

(1) 如图1，若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 如图3，在(2)的条件下，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直接写出线段 $\text{[math]}$ 的长.

综合题困难

2. 如图，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm。P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A出发沿A→B方向运动，速度为每秒1cm，到达点B停止运动；点Q从点B出发沿B→C→A方向运动，速度为每秒2cm，到达点A停止运动。它们同时出发，设出发时间为t秒。

(1) 当t=秒时，PQ∥AC；

(2) 设△PQB的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

(3) 当点Q在边CA上运动时，直接写出能使△BCQ为等腰三角形的t的值。

综合题困难

3. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点C在直线m上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中点D、E分别在直线AC、m上，将 $\text{[math]}$ 绕点B旋转 $\text{[math]}$ 点D、E都不与点C重合 $\text{[math]}$ ．

(1) 当点D在边AC上时 $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

(2) 当 $\text{[math]}$ 为等腰三角形时，求CD的长．

综合题困难