探究题：

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1. 探究题：

(1) 特殊情景：

如图 $\text{[math]}$ ，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以点 $\text{[math]}$ 为顶点作一个角，角的两边分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，探究：线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系为：．

$\text{[math]}$ 提示：延长 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，链接 $\text{[math]}$

(2) 类比猜想：类比特殊情景，在上述 $\text{[math]}$ 条件下，把“ $\text{[math]}$ ”改成一股情况“ $\text{[math]}$ ， ”如图 $\text{[math]}$ ，小明猜想：线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明结论．

(3) 解决问题：如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，计算 $\text{[math]}$ 的长度．

【考点】

含30°角的直角三角形; 勾股定理; 旋转的性质; 等腰直角三角形; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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实践探究题困难

1. 综合与实践探究

【问题背景】学习三角形旋转之后，八1班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过、旋转变换设计本组的logo，小鸣在设计logo的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系。因此他和同学一起对这个问题进行了数学探究。

已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等腰直角三角形，且 $\text{[math]}$

(1) 【初步探究】小鸣将 $\text{[math]}$ 绕点A在平面内自由旋转，连接BD、CE后，他发现这两条线段存在着一定的数量关系，如图1，请探究线段BD、CE的数量关系，并说明理由。

(2) 【深入探究】若 $\text{[math]}$ ，在旋转过程中，当点D、点E和BC的中点O三点共线时，如图2，请探究线段BD、DO和OE的数量关系，并说明理由。

(3) 【应用探究】如图2，在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （直接写出结果）

(4) 【拓展探究】如图3， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （直接写出结果）

实践探究题困难

问题提出：

（1）如图1，在 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ ，点P是 $\text{[math]}$ 边上任意一点，连接 $\text{[math]}$ 并将线段 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针方向旋转与 $\text{[math]}$ 相等的角度，得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．则线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三者之间的数量关系是　　．

问题探究：

（2）如图2，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的值；

（3）如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， P是线段 $\text{[math]}$ 上的任意一点，连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ ，得到线段 $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 是否存在最小值？若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的最小值；若不存在，请说明理由．

实践探究题普通

(1) 【案例展示】如图 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，理由如下：
$\text{[math]}$ ，可把 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ ，可使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，
$\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 共线，由旋转得： $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，而 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ，根据是 $\text{[math]}$ 第一空填三角形，第二空填全等的依据 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ．

(2) 【类比引申】如图 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 都不是直角时 $\text{[math]}$ 仍成立，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 应该满足什么数量关系是．

(3) 【拓展运用】如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 均在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 猜想 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 应满足的等量关系，并写出推理过程．

实践探究题困难