问题提出：（1）如图1，在中，点P是边上任意一点，连接并将线段绕点A顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接．则线段、、三者之间的数量关系是　　．问题探究：（2）如图2，在四边形中，，，．求的值；（3）如图3，在中，，，， P是线段上的任意一点，连接，将线段绕点A顺时针方向旋转，得到线段．连接，线段是否存在最小值？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．

问题提出：

（1）如图1，在 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ ，点P是 $\text{[math]}$ 边上任意一点，连接 $\text{[math]}$ 并将线段 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针方向旋转与 $\text{[math]}$ 相等的角度，得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．则线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三者之间的数量关系是　　．

问题探究：

（2）如图2，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的值；

（3）如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， P是线段 $\text{[math]}$ 上的任意一点，连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ ，得到线段 $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 是否存在最小值？若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的最小值；若不存在，请说明理由．

【考点】

含30°角的直角三角形; 勾股定理; 旋转的性质; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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实践探究题普通

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

换一批

1. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，求边 $\text{[math]}$ 的长度．

解答题容易

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题容易

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， D、E分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题容易

(1) 【案例展示】如图 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，理由如下：
$\text{[math]}$ ，可把 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ ，可使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，
$\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 共线，由旋转得： $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，而 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ，根据是 $\text{[math]}$ 第一空填三角形，第二空填全等的依据 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ．

(2) 【类比引申】如图 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 都不是直角时 $\text{[math]}$ 仍成立，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 应该满足什么数量关系是．

(3) 【拓展运用】如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 均在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 猜想 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 应满足的等量关系，并写出推理过程．

实践探究题困难

(1) 问题初探

综合与实践数学活动课上，李老师给出了一个问题：如图1，在四形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E ， F ，分别在边AB ， AD上，且 $\text{[math]}$ ，用等式表示线段BE ， DF ， EF之间的数量关系，并证明．小明同学发现，如图2，在AB延长线上截取 $\text{[math]}$ ，连接CG ．通过两次证明，证明三角形全等，可以解决问题．

请你直接写出（1）中的结论．

(2) 类比分析

李老师发现同学们运用了转化思想，构造全等三角形解决问题：为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师又提出下面问题，请你解答．

如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D，E在边AB上，且 $\text{[math]}$ ，用等式表示线段AD ， BE ， DE之间的数量关系，并证明．

(3) 学以致用

如图4，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D在边AB上，用等式表示线段AD ， BD ， CD之间的数量关系，并证明．

实践探究题困难

3. 综合与实践

问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景探究图形变化中的数学问题．如图1，将两张等腰直角三角形纸片重叠摆放在桌面，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点A，D在 $\text{[math]}$ 的同侧，点B，C在线段 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ 并延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点O，已知 $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 从图1中的位置开始，绕点O顺时针旋转（ $\text{[math]}$ 保持不动），旋转角为 $\text{[math]}$ ．

(1) 数学思考：“求索小组”的同学发现图1中 $\text{[math]}$ ，请证明这个结论；

(2) 操作探究：如图2，当 $\text{[math]}$ 时，“笃行小组”的同学连接线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择 ▲ 题．

A．①猜想 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足的数量关系，并说明理由；

②若 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 时，C，E两点间的距离；

B．①猜想 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足的位置关系，并说明理由；

②若 $\text{[math]}$ ，请直接写出点F落在 $\text{[math]}$ 延长线时，C，F两点间的距离．

实践探究题困难

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， P是 $\text{[math]}$ 边上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，把线段 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ 到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

2. 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上一动点，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ ．

填空题困难

3. 如图，将线段 $\text{[math]}$ 绕点B逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，点D是平面内一动点，且D、B两点之间的距离为5，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

填空题困难

1. 如图，边长为4的等边 $\text{[math]}$ 中，点D、E分别是 $\text{[math]}$ 边的中点，点P从B点沿着折线 $\text{[math]}$ （含点B、点E）运动，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ 到点Q，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，当点P在 $\text{[math]}$ 上运动时，求 $\text{[math]}$ 的度数：

(2) 如图2，当点P运动到点D时，试猜想 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由：

(3) 当 $\text{[math]}$ 是直角三角形时，请直接写出此时 $\text{[math]}$ 的长．

综合题困难

2. 探究题：

(1) 特殊情景：

如图 $\text{[math]}$ ，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以点 $\text{[math]}$ 为顶点作一个角，角的两边分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，探究：线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系为：．