已知和都是等腰三角形，且，，若点D在边上运动时，总保持，连接与交于点F ．

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1. 已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等腰三角形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若点D在 $\text{[math]}$ 边上运动时，总保持 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点F ．

(1) ①如图1，当点D为 $\text{[math]}$ 边中点时，则 $\text{[math]}$ 的值为 ▲ ；

②如图2，当点D不为 $\text{[math]}$ 边中点时，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图3，当点D在 $\text{[math]}$ 边上运动中恰好使得 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

线段垂直平分线的性质; 等腰三角形的性质; 平行四边形的判定与性质; 相似三角形的判定与性质; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，点D ， E ， F分别是 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

(1) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的值为．

解答题普通

2. 如图，在锐角三角形ABC中，AC>BC．以点C为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，连结CD.点E是CB延长线上的一点，连结AE，若AB平分∠CAE.

(1) 求证： $\text{[math]}$ .

(2) 当 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

解答题普通

3. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D是边 $\text{[math]}$ 的中点，以D为角的顶点作 $\text{[math]}$ .如图1，射线 $\text{[math]}$ 经过点A ， $\text{[math]}$ 交边 $\text{[math]}$ 于点E.

(1) 不添加辅助线，请直接写出图1中所有与 $\text{[math]}$ 相似的三角形；

(2) 如图2，将 $\text{[math]}$ 从图1中的位置开始，绕点D按逆时针方向旋转（旋转角不大于α），射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点E ， F.

①求证： $\text{[math]}$ ；

②如图3，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在线段 $\text{[math]}$ 上有一点P ，且 $\text{[math]}$ ，若点P始终在 $\text{[math]}$ 内（包括边界上），求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

③若 $\text{[math]}$ ，直接写出旋转角为多少度时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似.

解答题困难