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1.

(1) 【基础巩固】

如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，连结 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

(2) 【尝试应用】

如图2，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

(3) 【拓展提升】

如图3，在菱形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求菱形 $\text{[math]}$ 的边长．

【考点】

平行四边形的性质; 菱形的性质; 相似三角形的判定与性质; 三角形的综合; 四边形的综合;

【答案】

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实践探究题困难

(1) 【教材呈现】如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 摆放在一起，点 $\text{[math]}$ 为公共顶点， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 固定不动，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转，边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 分别交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 重合，点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 重合），则结论 $\text{[math]}$ 是否成立（填“成立”或“不成立”）；

(2) 【类比引申】如图2，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 内的一个动角，两边分别与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 【拓展延伸】如图3，菱形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的两边分别与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ．

实践探究题困难

2. 综合与实践：

数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．

问题情境：在 $\text{[math]}$ 中，点P是边 $\text{[math]}$ 上一点．将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 折叠，点D的对应点为E．

“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 交于点F，连接 $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 是菱形．

(1) 数学思考：请你证明“兴趣小组”提出的问题；

(2) 拓展探究：“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为 $\text{[math]}$ 的中点时，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，连接 $\text{[math]}$ ．试判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系，并说明理由．

请你帮助他们解决此问题．

(3) 问题解决：“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E恰好落在 $\text{[math]}$ 边上时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ 的长为．（直接写出结果）

实践探究题困难

(1) [基础巩固]
如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD=∠B．求证：AC²=AD·AB．

(2) [尝试应用]
如图2，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE=∠A．若BF=5，BE=3，求AD的长．

(3) [拓展提高]
如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC=2EF，∠BAD=2∠EDF，AE=1，DF=4，求菱形ABCD的边长(直接写出答案) ．

实践探究题困难