探究与推理如图1，在矩形中，，，连，点为上的一个动点，点从点出发，以每秒4个单位的速度沿向终点运动.过点作的平行线交于点，将沿对折，点落在点处，连交于点，设运动的时间为秒；图1 图2 备用图

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1. 探究与推理

如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的一个动点，点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 点出发，以每秒4个单位的速度沿 $\text{[math]}$ 向终点 $\text{[math]}$ 运动.过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的平行线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 对折，点 $\text{[math]}$ 落在点 $\text{[math]}$ 处，连 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，设运动的时间为 $\text{[math]}$ 秒；

图1 图2 备用图

(1) 用含有 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ .

(2) 当 $\text{[math]}$ 为何值时，点 $\text{[math]}$ 恰好落在线段 $\text{[math]}$ 上；

(3) 如图2，在点 $\text{[math]}$ 运动过程中，以 $\text{[math]}$ 为直径作 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 与矩形的边相切？请说明理由.

【考点】

勾股定理; 矩形的判定与性质; 圆的综合题; 翻折变换（折叠问题）; 锐角三角函数的定义;

【答案】

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实践探究题困难

1. 综合与实践

【问题情境】

在数学活动课上，同学们以“折叠矩形”为主题开展数学活动．已知，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，点P是AB边上一点，将△APD沿直线PD折叠，点A的对应点为点E．

【操作发现】

(1) 如图①，当点P与点B重合时，过点E作EF∥AB，交BD于点F，连结AF，试判定四边形ABEF的形状，并说明理由．

(2) 操作二：如图②，当点E落在BC边上时，AP＝．

(3) 操作三：如图③，当点P为AB中点时，延长DE交BC于点G，连结PG，则tan∠PGB＝．

实践探究题普通

2. 【教材呈现】

现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题：

14．如图，在锐角 $\text{[math]}$ 中，探究 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的关系．（提示：分别作 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 边上的高．）

【得出结论】

$\text{[math]}$ ．

(1) 【基础应用】

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，利用以上结论求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 【推广证明】

进一步研究发现， $\text{[math]}$ 不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足 $\text{[math]}$ （R为 $\text{[math]}$ 外接圆的半径）．请利用图1证明： $\text{[math]}$ ．

(3) 【拓展应用】

如图2，四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求过A ， B ， D三点的圆的半径．

实践探究题困难

如图①，已知矩形ABCD和点 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 在边BC上任一位置时，易证得结论： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .

(1) 探究：当点 $\text{[math]}$ 分别在图②，图③中的位置时，即点 $\text{[math]}$ 分别在矩形ABCD的内部和外部时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并证明图②（点 $\text{[math]}$ 在矩形ABCD的内部）的结论．

答：对图②的探究结论为；对图③的探究结论为．

(2) 应用：如图④所示， $\text{[math]}$ 是矩形ABCD内一点，已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

实践探究题普通