如图，已知图①是一块边长为1，周长记为的等边三角形卡纸，把图①的卡纸剪去一个边长为的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边再剪去一个边长为的等边三角形后得到图③，依次剪去一个边长为，， …的等边三角形后，得到图④ 、⑤ 、⑥ …

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1. 如图，已知图①是一块边长为1，周长记为 $\text{[math]}$ 的等边三角形卡纸，把图①的卡纸剪去一个边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边再剪去一个边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形后得到图③，依次剪去一个边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ …的等边三角形后，得到图④ 、⑤ 、⑥ …

(1) 第5个图形中卡纸的周长 $\text{[math]}$ ______；

(2) 记图 $\text{[math]}$ 中的卡纸的周长为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ______；

(3) 若 $\text{[math]}$ ，求n的值．

【考点】

等边三角形的性质; 探索图形规律;

【答案】

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解答题普通

1. 如图，CD是等边△ABC的角平分线，延长CB到E，使BE＝BD，F是AE的中点，已知CD＝6 cm，求DF的长．

解答题普通

2. 如图，第1个图案中“◎”的个数为 $\text{[math]}$ ， “●”的个数为 $\text{[math]}$ ；

第2个图案中“◎”的个数为 $\text{[math]}$ ， “●”的个数为 $\text{[math]}$ ；

第3个图案中“◎”的个数为 $\text{[math]}$ ， “●”时的个数为 $\text{[math]}$ ；

……

(1) 在第 $\text{[math]}$ 个图案中，“◎”的个数为_____，“●”的个数为_______．（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）

(2) 根据图案中“●”和“◎”的排列方式及上述规律，求正整数 $\text{[math]}$ ，使得第 $\text{[math]}$ 个图案中“●”的个数是“◎”的个数的 $\text{[math]}$ ．

解答题普通

3. 【观察思考】

作一个正方形、设每边长为 $\text{[math]}$ ，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为 $\text{[math]}$ 的小正方形，如此连续操作几次，便可构成一朵绚丽多彩的雪花图案．

【规律发现】

请用含a的式子填空：

（1）正方形进行第 $\text{[math]}$ 次分形后得到了图 $\text{[math]}$ ，此图形的周长为______；

（2）重复上述的操作，图 $\text{[math]}$ 需要经过第____次分形后才能得到图3的图案．

请用含 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的式子填空：

（3）经过 $\text{[math]}$ 次分形得到的图案周长为______，面积为______．

【规律应用】

（4）结合上述规律，若分形前正方形的边长为 $\text{[math]}$ ，是否存在不大于 $\text{[math]}$ 的正整数 $\text{[math]}$ ，使得按规律排序的一段正整数之和 $\text{[math]}$ 等于经过 $\text{[math]}$ 次分形得到的图案周长的 $\text{[math]}$ 倍．若存在，求出 $\text{[math]}$ 的所有的值；若不存在，请说明理由．

解答题普通