如图，是矩形边上一动点，沿翻折得，直线交线段于点，以，为边构造．

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1. 如图， $\text{[math]}$ 是矩形 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 上一动点， $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折得 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边构造 $\text{[math]}$ ．

(1) 当点 $\text{[math]}$ 在矩形 $\text{[math]}$ 内部时，

①小聪通过画图探究，得到以下数据，根据题意，将表格补充完整．

$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

②写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，不必说明理由．

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求所有符合条件的 $\text{[math]}$ 的长．

(3) 当点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的对称点恰好落在线段 $\text{[math]}$ 上，且不与点 $\text{[math]}$ 重合时， $\text{[math]}$ ．

【考点】

勾股定理; 矩形的性质;

【答案】

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实践探究题困难

1. 定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．

了解性质：如图1：已知四边形ABCD中，AC⊥BD ．垂足为O ，则有：AB²+CD²＝AD²+BC²；

（图1）（图2）（图3）

（图4）（图5）

(1) 性质应用：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，若AD=2，BC=4，CD=3，则AB=；

(2) 性质变式：如图2，图3，P是矩形ABCD所在平面内任意一点，则有以下重要结论：AP²+CP²＝BP²+DP² ．请以图3为例将重要结论证明出来．

(3) 应用变式：①如图4，在矩形ABCD中，O为对角线交点，P为BO中点，则 $\text{[math]}$ ；(写出证明过程）

②如图5，在∆ABC中，CA=4，CB=6，D是∆ABC内一点，且CD=2，∠ADB=90°，则AB的最小值是．

实践探究题困难

2. 矩形折叠探究

在矩形纸片 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上的一点．

(1) 如图1，王欢在边 $\text{[math]}$ 上取一点N，将纸片沿直线 $\text{[math]}$ 折叠，使点C落在边 $\text{[math]}$ 上，记为点P，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图2，张乐在边 $\text{[math]}$ 上取一点N，将纸片沿直线 $\text{[math]}$ 折叠，当点C与点A重合时，求 $\text{[math]}$ 的长．

实践探究题普通

3. 综合与实践

小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格：

课题	在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 $\text{[math]}$
模型抽象
测绘数据	①测得水平距离 $\text{[math]}$ 的长为15米．
	②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线 $\text{[math]}$ 的长为17米．
	③牵线放风筝的手到地面的距离 $\text{[math]}$ 为1.6米．
说明	点A，B，E，D在同一平面内

请根据表格信息，解答下列问题．

(1) 求线段 $\text{[math]}$ 的长．

(2) 若想要风筝沿 $\text{[math]}$ 方向再上升12米，则在 $\text{[math]}$ 长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？

实践探究题普通