已知，直角中，，，，过，两点作圆交射线于点，交射线于点．

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1. 已知，直角 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点作圆交射线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交射线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 中点时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图2，当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上时，若点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 如图3，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为等腰三角形，求所有满足条件的 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

等腰三角形的判定与性质; 勾股定理; 圆周角定理;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，已知在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O及半径OM、OP上，并且∠POM＝45°，求正方形的边长．

解答题普通

2. 在解决数学问题时，我们常常从特殊入手，猜想结论，并尝试发现解决问题的策略与方法．

【问题提出】

求证：如果一个定圆的内接四边形对角线互相垂直，那么这个四边形的对边的平方和是一个定值．

(1) 【从特殊入手】

我们不妨设定圆O的半径是R，⊙O的内接四边形ABCD中，AC⊥BD．

请你在图①中补全特殊殊位置时的图形，并借助于所画图形探究问题的结论．

(2) 【问题解决】

已知：如图②，定圆⊙O的半径是R，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD．

求证：AB²＋CD²＝BC²＋AD²＝4R²

解答题普通

3. 如图，四边形 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长度．

解答题普通