如图，在四边形中，，，， E为边上一点（），，连接，将绕点D顺时针旋转得到，连接．

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1. 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E为 $\text{[math]}$ 边上一点（ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点D顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 当点C，D，F在同一条直线上时，求证：四边形 $\text{[math]}$ 是正方形；

(2) 求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

平行四边形的判定与性质; 正方形的性质; 相似三角形的判定; 旋转的性质; 三角形全等的判定-ASA;

【答案】

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综合题困难

1. 综合与实践：

问题情境：已知 $\text{[math]}$ 是正方形 $\text{[math]}$ 的对角线，将直角三角尺放在正方形 $\text{[math]}$ 上.

(1) 如图1，使三角尺的直角顶点与点A重合，三角尺的一条直角边交直线 $\text{[math]}$ 于点E，另一条直角边交直线 $\text{[math]}$ 于点F.求证： $\text{[math]}$ .

(2) 操作发现：

如图2，将三角尺的直角顶点P放在 $\text{[math]}$ 上，三角尺的一条直角边交直线 $\text{[math]}$ 于点E，另一条直角边交直线 $\text{[math]}$ 于点F.判断 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由.

综合题困难

2. 在△ABC中，∠ACB=30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A₁BC₁ ．

(1) 如图1，当点C₁在线段CA的延长线时，求∠CC₁A₁的度数；

(2) 已知AB=6，BC=8，

①如图2，连接AA₁ ， CC₁ ，若△CBC₁的面积为16，求△ABA₁的面积；

②如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应是点P₁ ，直接写出线段EP₁长度的最大值．

(3) 线段EP₁长度的最大值为11，理由如下：

综合题普通

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ 度后，得到 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 刚好落在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

(1) $\text{[math]}$ 的值是；

(2) 若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，求证： $\text{[math]}$ ．

综合题普通