和是两个全等的三角形，绕点A旋转，，，．

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1. $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是两个全等的三角形， $\text{[math]}$ 绕点A旋转， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 绕点A旋转过程中，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 如图2，在 $\text{[math]}$ 绕点A旋转过程中，当点D恰好落在 $\text{[math]}$ 的中线 $\text{[math]}$ 的延长线上时，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点F，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 在 $\text{[math]}$ 绕点A旋转过程中，探究C，D，E三点能否构成直角三角形．若能，请直接写出所有直角三角形 $\text{[math]}$ 的面积；若不能，请说明理由．

【考点】

三角形全等及其性质; 勾股定理; 相似三角形的判定与性质; 旋转的性质;

【答案】

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实践探究题困难

1. （1）观察猜想：如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．点D是 $\text{[math]}$ 的平分线上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

① $\text{[math]}$ 的值是______；②射线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交所成的较小角的度数是______．

（2）类比探究

如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的平分线上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

请写出 $\text{[math]}$ 的值及射线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．

（3）拓展延伸

在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ ，请直接写出当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的长为_______．

实践探究题困难

如图1，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）当 $\text{[math]}$ 绕点A旋转过程中，试探究 $\text{[math]}$ 的值；

【深入探究】

（2）如图2，点B在 $\text{[math]}$ 内部，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于F，交 $\text{[math]}$ 于G，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

【拓展延伸】

（3）如图3，点B在 $\text{[math]}$ 内部，连接 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于H，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

实践探究题困难

3. 数学课上，有这样一道探究题．

如图，已知 $\text{[math]}$ 中，AB=AC=m，BC=n， $\text{[math]}$ ，点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，将线段CP绕点P顺时针旋转a，得线段PD，E、F分别是CB、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究 $\text{[math]}$ 的值和 $\text{[math]}$ 的度数与m、n、α的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：