永定河，“北京的母亲河”．近年来，我区政府在永定河治理过程中，有时会将弯曲的河道改直，图中A，B两地间的河道改直后大大缩短了河道的长度．这一做法的主要依据是（）

1. 如图，把三角形剪去一个角，所得四边形的周长比原三角形的周长小，能符合题意解释这一现象的数学知识是（）

A. 四边形周长小于三角形周长 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间，线段最短 D. 经过一点有无数条直线

单选题容易

2. 如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）

A. 垂线段最短 B. 经过一点有无数条直线 C. 两点之间，线段最短 D. 经过两点，有且仅有一条直线

单选题容易

3. 有下列四个有关生活、生产中的现象：①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直，就能缩短路程；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；④植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同行树所在的直线．其中不能用“两点之间线段最短”来解释的现象有（）

A. ②③ B. ①③ C. ②④ D. ①④

单选题容易

1. 如图，用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是（）

A. 重线段最短 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 经过一点有无数条直线

单选题普通

2. 为了解决村庄灌溉问题，政府投资由水库向A，B，C，D这四个村庄铺设管道，现已知这四个村庄与水库以及村与村之间的距离(单位：km)如图所示，则把水库的水输送到这四个村庄铺设管道的总长度最短为 ( )

A. 16km B. 17km C. 18km D. 20km

单选题普通

3. 下列说法正确的个数是（　　）

①连接两点的线中以线段最短；

②两条直线相交，有且只有一个交点；

③若两条直线有两个公共点，则这两条直线重合；

④若AB+BC=AC，则A、B、C三点共线．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

单选题普通

1. 如图，从学校A到书店B最近的路线是①号路线，其道理应是．

填空题容易

2. 小王准备从A地去往B地，打开导航，显示两地距离为 $\text{[math]}$ ，但导航提供的三条可选路线长却分别为 $\text{[math]}$ ．能解释这一现象的数学知识是．

填空题容易

3. 某单位的四幢宿舍楼在一条直线上，现要在这四幢宿舍楼之间建一个超市，使得四幢宿舍楼到超市的距离之和最短。超市应建在什么位置?

解答题普通

1.

(1) 【问题情境】

如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转 $\text{[math]}$ （如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 ▲ 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略：

(2) 【操作实践】

如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边 $\text{[math]}$ 之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽像成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点 $\text{[math]}$ 为端点的四条线段之间的数量关系；

(3) 【探究应用】

如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转，他发现旋转过程中 $\text{[math]}$ 存在最大值．若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 最大时，求AD的长；

(4) 如图6，在RtABC中， $\text{[math]}$ ，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD ．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

实践探究题困难

2.

(1) 初步研究：如图1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；

(2) 结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；

(3) 拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值．

实践探究题困难

3. 问题探究

将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．

问题提出：如图1， $\text{[math]}$ 是边长为1的等边三角形，P为 $\text{[math]}$ 内部一点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．

问题解决：如图2，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，易知 $\text{[math]}$ ．由 $\text{[math]}$ ，可知 $\text{[math]}$ 为正三角形，有 $\text{[math]}$ ．