对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图是一个没有填写完整的幻方，它每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数的和都相等，那么m表示的数为．

$\text{[math]}$

探究发现：两行数中，第 $\text{[math]}$ 个相同的数是 $\text{[math]}$ ，第 $\text{[math]}$ 个相同的数是 $\text{[math]}$ ， …，若第 $\text{[math]}$ 个相同的数是 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于．

填空题容易

2. 钟表上在3时和4时之间的时刻，时钟的时针与分针的夹角是成平角．

填空题容易

3. 甲种水笔每支2元，乙种水笔每支1.5元．用18元钱买这两种水笔，一共买了10支，则其中乙种水笔有支．

填空题容易

1. 电子跳蚤落在数轴上的某点 $\text{[math]}$ ，第一步从 $\text{[math]}$ 向左跳1个单位到 $\text{[math]}$ ，第二步由 $\text{[math]}$ 向右跳2个单位到 $\text{[math]}$ ，第三步由 $\text{[math]}$ 向左跳3个单位到 $\text{[math]}$ ，第四步由 $\text{[math]}$ 向右跳4个单位到 $\text{[math]}$ ， …，按以上规律跳了200步时，电子跳蚤落在数轴上的点 $\text{[math]}$ 所表示的数恰是18.94，则电子跳蚤的初始位置 $\text{[math]}$ 点所表示的数是．

填空题普通

2. 电子跳蚤落在数轴上的某点 $\text{[math]}$ ，第一步从 $\text{[math]}$ 向左跳1个单位到 $\text{[math]}$ ，第二步由 $\text{[math]}$ 向右跳2个单位到 $\text{[math]}$ ，第三步由 $\text{[math]}$ 向左跳3个单位到 $\text{[math]}$ ，第四步由 $\text{[math]}$ 向右跳4个单位到 $\text{[math]}$ ， …，按以上规律跳了200步时，电子跳蚤落在数轴上的点 $\text{[math]}$ 所表示的数恰是18.94，则电子跳蚤的初始位置 $\text{[math]}$ 点所表示的数是．

填空题普通

3. 如图，在5×5的方格中，每个小方格的边长为1且标记数字，在方格中画阴影正方形．现规定被阴影正方形全部覆盖的小方格，其数值之和记为m，部分覆盖的小方格，其数值之和的一半记为n．以图1中阴影正方形为例，m+n=8+9+13+14+ $\text{[math]}$ =110．若在图2中画一个面积为5的阴影正方形(顶点均在格点上)，且m+n=60，则m的值为

填空题普通

1. 方程 $\text{[math]}$ 的解是 $\text{[math]}$ （）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

2. 数学活动：用一根质地均匀长为 $\text{[math]}$ 的木杵和一些等重的小物体，做如下的实验：

（1）在木杆中点处栓绳，将木杆吊起来并使其左右平衡，吊绳处为木杆的支点；

（2）在木杆两端各悬挂一重物，看左右是否保持平衡；

（3）小明在木杆左端小物体下加挂一重物，然后把这两个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离；

（4）在木杆左边继续加挂重物，并重复以上操作和记录如下：

木杆左边挂重物个数	支点到木杆左边挂重物处的距离	木杆右端挂重物个数	支点到木杆右端挂重物处的距离
2	$\text{[math]}$	1	$\text{[math]}$
3	$\text{[math]}$	1	$\text{[math]}$
4	$\text{[math]}$	1	$\text{[math]}$
…	…	1	$\text{[math]}$
n		1	$\text{[math]}$

任务1：根据以上小明的记录，若木杆左边挂5个重物，则支点到木杆左边挂重物处的距离为______；

任务2：如图，在木杆右端挂一重物，支点左边挂n个重物，并使左右平衡．设木杆长为 $\text{[math]}$ ，支点到木杆左边挂重物处的距离为 $\text{[math]}$ ，把n，l作为已知数，求x的值．

解答题普通

3. 设一列数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ ， …中任意三个相邻的数之和都是20，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 的值是（）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

单选题容易

1. 对于一组互不相等的正有理数，若对于其中任意两个数a，b， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 两数中至少有一个在这组数中，则称这组有理数是“好数组”．

(1) 2，3，5______“好数组”，1，2，3，5______“好数组”；（填“是”或“不是”）

(2) 若2，4，8， $\text{[math]}$ 是“好数组”，求出 $\text{[math]}$ 的所有可能值；

(3) 若含2025的5个正有理数是“好数组”，直接写出所有符合条件的“好数组”．（此问为选作题，共3分，可计入总分，但全卷不超过100分）

解答题普通

2. 某数学小组用一根质地均匀的木杆和一些等重的小物体做实验，过程如下：

（ⅰ）如图1，在木杆中间栓绳，将木杆吊起并使其左右平衡，吊绳处为木杆支点，记为点O；

（ⅱ）如图2①，在木杆两端各悬挂一个小物体，木杆左右平衡，支点与木杆右端挂小物体处的距离为线段 $\text{[math]}$ 的长，与木杆左端挂小物体处的距离为线段 $\text{[math]}$ 的长；

（ⅲ）如图2②，木杆右端仍然只悬挂一个小物体，在木杆左端挂的小物体下加挂一个小物体，然后把两个小物体一起向右移动，直至木杆左右平衡，此时支点与木杆左边挂小物体处的距离为线段 $\text{[math]}$ 的长；

（ⅳ）如图2③，木杆右端仍然只悬挂一个小物体，在木杆左边挂的两个小物体下再加挂一个小物体，然后把三个小物体一起向右移动，直至木杆左右平衡，此时支点与木杆左边挂小物体处的距离为线段 $\text{[math]}$ 的长；

……

（ⅴ）继续实验，木杆右端始终只悬挂一个小物体，在木杆左边悬挂n个小物体，然后把n个小物体一起向右移动，直至木杆左右平衡，此时支点与木杆左边挂小物体处的距离为线段 $\text{[math]}$ 的长．

依据实验过程和实验数据，解答问题：

上述实验相关数据的记录如下表：

次数	右端挂小物体数	支点与右端挂小物体处的距离（单位：cm）	左边挂小物体数	支点与左边挂小物体处的距离（单位：cm）
1	1	30	1	$\text{[math]}$
2	1	30	2	$\text{[math]}$
3	1	30	3	$\text{[math]}$
……	…	…	…	…
n	1	30	n	$\text{[math]}$

(1) $\text{[math]}$ __________ $\text{[math]}$ ；

(2) 小组成员发现，即使改变支点位置，木杆右端悬挂小物体的数量，当木杆左右平衡时，左右悬挂小物体的数量与支点到左右悬挂小物体处的距离之间的等量关系不变．设木杆长为 $\text{[math]}$ ，支点在靠近木杆右端的三等分点处，在木杆右端挂3个小物体，支点左边挂m个小物体，并使左右平衡，支点到木杆左边挂小物体处的距离为 $\text{[math]}$ ，把m，l作为已知数，可以列出关于x的一元一次方程为__________；

(3) 生活中还有很多问题都符合这个实验所发现的等量关系，例如将相同体积的水倒入两个底面积不同的圆柱形容器（厚度忽略不计）时，两个容器的水面高度与两个容器底面积之间的关系．现有1号，2号两个圆柱形容器，记1号底面积为 $\text{[math]}$ ，水面高度为 $\text{[math]}$ ， 2号底面积为 $\text{[math]}$ ，水面高度为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ．

①当这两个容器中水的体积相同时， $\text{[math]}$ 的值为__________；

②这两个容器中都有 $\text{[math]}$ 的水，将1号中的部分水倒入2号中，当两个容器的水面高度相同时，求1号倒入2号中的水的体积．

解答题困难

3. 根据背景素材，解决实际问题.

如何借助木杆测物体质量：

素材1 用一根质地均匀的木杆和一些等质量的铁块做如下实验：如图，取一根质地均匀长度为120cm的木杆，以木杆的中点为支点，在木杆右端点悬挂一个重物.当左边悬挂1个铁块时，可找到一个悬挂点使木杆左右保持平衡，当左边铁块的个数n 发生变化时，可通过调整左边悬挂点到支点的距离(设距离为x(cm))，使木杆保持平衡.

素材2 下表中有5次实验记录，均是木杆在平衡状态下n与x的值：

n(单位：个)	1	2	3	4	5
x(单位：cm)	60	30	20	16	12

素材3 已知每个铁块的质量为30g，甲、乙两同学分别拿质量为m₁ ， m₂的物体进行称重.木杆右端的重物保持不动，甲同学将物体挂在支点左边x=a(cm)处，左右保持平衡；乙同学将物体挂在支点左边x=2a(cm)处，左右保持平衡；如果将两个物体同时挂在支点左边某一处，左右保持平衡时，测得x=20(cm).

问题解决：

(1) 任务1

①素材2 中，实验数据有一组有误，它们是n= ▲ ， x= ▲ .

②若支点左边挂6个“素材1”中的铁块，求x的值.

(2) 任务2 木杆保持平衡时，请直接写出左边悬挂物体总质量m 与悬挂点到支点距离x 的数量关系.

(3) 任务3 根据以上提供的素材，求出“素材3”中的m₁ ， m₂的值.

实践探究题普通