如图1，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，顶点为．

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1. 如图1，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ，顶点为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的解析式和顶点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 如图2，若点P为抛物线在直线 $\text{[math]}$ 上方图象上一动点，过点P作 $\text{[math]}$ 轴交直线 $\text{[math]}$ 于点Q，当四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形时，求点P的横坐标；

(3) 抛物线沿直线 $\text{[math]}$ 方向向下平移，当平移后的抛物线与x轴只有一个交点时，求出抛物线上A、M两点之间的部分所扫过的面积．

【考点】

待定系数法求一次函数解析式; 二次函数图象的几何变换; 待定系数法求二次函数解析式; 二次函数-特殊四边形存在性问题;

【答案】

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解答题普通

1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 分别与y轴、x轴正半轴于A、B两点．

(1) 求直线 $\text{[math]}$ 的函数表达式；

(2) 如图1，将抛物线 $\text{[math]}$ 沿它的对称轴向下平移，使得平移后的抛物线顶点刚好落在直线 $\text{[math]}$ 上，求平移后抛物线 $\text{[math]}$ 的函数表达式；

(3) 如图2，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 上一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线，交抛物线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，在平面中找一点 $\text{[math]}$ ，使得以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是菱形，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标．

解答题困难

2. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的表达式；

(2) 点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 下方抛物线上的一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 轴交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值以及此时点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) 将原抛物线沿射线 $\text{[math]}$ 方向平移 $\text{[math]}$ 个单位长度得到新抛物线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是新抛物线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿着直线 $\text{[math]}$ 翻折到同一平面内得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，当∠ $\text{[math]}$ 时，直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标，并写出求解其中一个坐标的过程．

解答题困难

3. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点A，B，交 $\text{[math]}$ 轴于点C．

(1) 如图1，当点A坐标为 $\text{[math]}$ 时，求抛物线的解析式；

(2) 在（1）的条件下，点D是第二象限内抛物线上的一点，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 将四边形 $\text{[math]}$ 平分成面积相等的两部分，求点D的横坐标；

(3) 如图2， $\text{[math]}$ 为等边三角形，点F，H在 $\text{[math]}$ 轴上，且点E的坐标为 $\text{[math]}$ ，将抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 向右平移 $\text{[math]}$ 个单位，再向下平移 $\text{[math]}$ 个单位后得到新的抛物线 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与等边 $\text{[math]}$ 三边恰有四个交点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难