如图，矩形中，，，点是边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，以为斜边作等腰直角三角形（点在上方）．

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1. 如图，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的一个动点，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为斜边作等腰直角三角形 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上方）．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 当点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 运动到点 $\text{[math]}$ 的过程中， $\text{[math]}$ 的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到 $\text{[math]}$ 边的距离的最大值．

(3) 当点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 运动到点 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 也随之运动，

①四边形 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的长 $\text{[math]}$ 的函数吗？如果是求出函数解析式，如果不是说明理由；

②求点 $\text{[math]}$ 经过的路径长．

【考点】

二次函数的最值; 矩形的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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解答题困难

1. 如图所示，要在底边BC=160cm，高AD=120cm的△ABC铁皮余料上，截取一个矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E，F在BC上，AD交HG于点M.

(1)设矩形EFGH的长HG=ycm，宽HE=xcm.求y与x的函数关系式；

(2)当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大?最大值是多少?

解答题普通

2. 如图所示，在矩形ABCD中，E是AD边的中点， $\text{[math]}$ 于点F ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 求 $\text{[math]}$ ．

解答题普通

3. 【基础巩固】（1）如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E，F，G，H分别在线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

【尝试应用】（2）如图2，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E，F分别在线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

【拓展提高】（3）如图3，四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E为 $\text{[math]}$ 上一点，过点E作 $\text{[math]}$ 垂直 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点G．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题普通