依次连接四边形各边中点，得四边形是矩形，则四边形必须满足的条件是（）

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1. 依次连接四边形 $\text{[math]}$ 各边中点，得四边形 $\text{[math]}$ 是矩形，则四边形 $\text{[math]}$ 必须满足的条件是（）

A. 矩形 B. 等腰梯形 C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

【考点】

菱形的判定; 矩形的判定; 三角形的中位线定理;

【答案】

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单选题普通

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（）

A. 当 $\text{[math]}$ 时，它是菱形 B. 当 $\text{[math]}$ 时，它是菱形 C. 当 $\text{[math]}$ 时，它是矩形 D. 当 $\text{[math]}$ 时，它是正方形

单选题容易

2. 下列说法正确的是（）

A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形

单选题容易

3. 已知四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形，下列结论中正确的有（）

①当 $\text{[math]}$ 时，它是菱形；②当 $\text{[math]}$ 时，它是菱形；③当 $\text{[math]}$ 时，它是矩形；④当 $\text{[math]}$ 时，它是正方形．

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

单选题容易

1. 分别顺次连接①等腰梯形；②矩形；③菱形；④对角线相等的四边形“各边中点所构成的四边形”中，为菱形的是（）

A. ① B. ② C. ①②③ D. ①②④

单选题普通

2. 平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形 $\text{[math]}$ 是矩形，那么这个条件是（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

3. 如图， $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点O，添加一个条件，使得 $\text{[math]}$ 是菱形，则下列选项不符合题意的是（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

1. 在平行四边形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，分别添加下列条件： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．使得平行四边形 $\text{[math]}$ 是菱形的条件有．（填序号）

填空题普通

2. 如图，已知四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形，从① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ， ③ $\text{[math]}$ 中选择一个作为条件，补充后使四边形 $\text{[math]}$ 成为菱形，则其选择是（限填序号）．

填空题容易

3. 在□ABCD 中，若添加一个条件，则四边形ABCD是矩形；若添加一个条件，则四边形ABCD是菱形．

填空题容易

1. 综合与实践

顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．

以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．

【探究一】

原四边形对角线关系	中点四边形形状
不相等、不垂直	平行四边形

如图1，在四边形 $\text{[math]}$ 中，E、F、G、H分别是各边的中点．

求证：中点四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．

证明：∵E、F、G、H分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，

∴ $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中位线，

∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ ① ）

∴ $\text{[math]}$ ．

同理可得： $\text{[math]}$ ．

∴中点四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．

结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形．

(1) 请你补全上述过程中的证明依据.

(2) 【探究二】

原四边形对角线关系	中点四边形形状
不相等、不垂直	平行四边形
$\text{[math]}$	菱形

从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．

下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．

(3)

【探究三】

原四边形对角线关系	中点四边形形状
不相等、不垂直	平行四边形
$\text{[math]}$	②

从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是．

(4) 下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．

(5) 【归纳总结】
请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形．

原四边形对角线关系	中点四边形形状
③	④

结论：原四边形对角线时，中点四边形是．

实践探究题普通

2. 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的两条中位线．我们探究的问题是：这两条中位线和三角形的两条边所围成的四边形的形状与原三角形的边或角有什么关系？建议按下列步骤探索：

(1) 围成的四边形是否必定是平行四边形？

(2) 在什么条件下，围成的四边形是菱形？

(3) 在什么条件下，围成的四边形是矩形？

(4) 你还能发现其他什么结论吗？

解答题普通

3. 如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．

(1) 求证：四边形EGFH是平行四边形．

(2) ①当AB与CD满足条件时，四边形EGFH是菱形，请说明理由；

②当AB与CD满足条件时，四边形EGFH是矩形，请说明理由．

解答题普通

1. 下列命题是真命题的是（）

A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 任意多边形的内角和为360° D. 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半

单选题容易