在正方形中，正方形的边长为，点为对角线的中点，点在直线上，连接，过点作交直线于点．

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1. 在正方形 $\text{[math]}$ 中，正方形的边长为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为对角线 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上（不与端点重合）时，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上（不与端点及点 $\text{[math]}$ 重合）时，请补全图形，探究线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的数量关系并证明；

(3) 若点 $\text{[math]}$ 在射线 $\text{[math]}$ 上且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 运动到点 $\text{[math]}$ 的过程中，点 $\text{[math]}$ 随之运动，求点 $\text{[math]}$ 的运动路径长．（用含有 $\text{[math]}$ 的代数式表示）

【考点】

三角形全等及其性质; 等腰三角形的判定与性质; 勾股定理; 正方形的性质; 三角形全等的判定-AAS;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的延长线上一点D，作 $\text{[math]}$ ，垂足为E，交边 $\text{[math]}$ 于点F．

(1) 求证： $\text{[math]}$ 是等腰三角形；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， F为 $\text{[math]}$ 的中点，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的长．

解答题普通

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，过CA的延长线上一点D ，作 $\text{[math]}$ ，垂足为E ，交边AB于点F ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ 是等腰三角形；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， F为AB的中点，求EF和DF的长．

解答题普通

3. 四边形 $\text{[math]}$ 是边长为 4 的正方形，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 所在的直线上，连结 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边，作正方形 $\text{[math]}$ (点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 的同侧)，连结 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图 1，当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

(2) 如图 2，当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上时， $\text{[math]}$ ．求： ①点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离．② $\text{[math]}$ 的长．

(3) 若 $\text{[math]}$ ，请直接写出此时 $\text{[math]}$ 的长．

解答题困难