已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1．

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1. 已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1．

(1) 求证：△ABE≌△BCF；

(2) 求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积；

(3) 现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′（如图2），使点E落在CD边上的点E′处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由．

【考点】

三角形全等的判定; 正方形的性质; 相似三角形的判定与性质; 旋转的性质;

【答案】

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综合题普通

(1) 如图1，正方形 $\text{[math]}$ 与正方形 $\text{[math]}$ 有公共的顶点A，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

①求证： $\text{[math]}$ ；

②求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 将图1中的正方形 $\text{[math]}$ 旋转到图2的位置，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在一条直线上，若 $\text{[math]}$ ，求正方形 $\text{[math]}$ 的边长．

综合题困难

2. 正方形ABCD的边长为6cm，点E，M分别是线段BD，AD上的动点，连接AE并延长，交边BC于F，过M作MN⊥AF，垂足为H，交边AB于点N.

(1) 如图①，若点M与点D重合，求证：AF＝MN；

(2) 如图②，若点M从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B出发，以 $\text{[math]}$ cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为ts.

①设BF＝ycm，求y关于t的函数表达式；

②当BN＝2AN时，连接FN，求FN的长．

综合题困难

3. 将正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转至 $\text{[math]}$ ，记旋转角为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，过点B作 $\text{[math]}$ 直线 $\text{[math]}$ ，垂足为点F，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的形状为， $\text{[math]}$ 的值为；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，

①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请根据图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；

②如图3，正方形 $\text{[math]}$ 边长为4， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 旋转的过程中，是否存在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，则 $\text{[math]}$ 的值为 ▲ ，若不存在，请说明理由．

综合题困难