在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．

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1. 在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．

(1) 如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；

(2) 如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．

【考点】

勾股定理; 圆周角定理; 解直角三角形;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D．以AB为直径的半⊙O分别与

AC，CD相交于点E，F，连接AF，EF．

(1) 求证：∠AFE=∠ACD；

(2) 若CE=4，CB=4 $\text{[math]}$ ，tan∠CAB= $\text{[math]}$ ，求FD的长．

综合题普通

2. 如图，点 $\text{[math]}$ 和动点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$ 的对称点为 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边作 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 的外接圆 $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 右侧， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 右侧的圆弧于点 $\text{[math]}$ .在射线 $\text{[math]}$ 上取点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为邻边作矩形 $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ .

(1) 用关于 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(2) 当点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 右侧时，若矩形 $\text{[math]}$ 的面积等于90，求 $\text{[math]}$ 的长.

(3) 当点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 右侧时，作直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的弦心距为1，求 $\text{[math]}$ 的长.

综合题困难

3. 如图， $\text{[math]}$ 半径为2，弦 $\text{[math]}$ ， A是弦 $\text{[math]}$ 所对优弧上的一个点，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 点M，连接 $\text{[math]}$ ，过点B作 $\text{[math]}$ ，垂足为E．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ．

(2) 过点A作 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点H，D．求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题普通