如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；（2）若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长．

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1. 如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．

（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；

（2）若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长．

【考点】

切线的判定与性质;

【答案】

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解答题普通

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AD平行于OC．求证：DC是⊙O的切线.

证明题容易

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，以点 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 为半径作半圆，与 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ 是半 $\text{[math]}$ 的切线；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求半 $\text{[math]}$ 的半径．

解答题困难

2. 如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O直径，AC=CD，连接AD交BC于点M，延长MC到N，使CN=CM．

（1）判断直线AN是否为⊙O的切线，并说明理由；

（2）若AC=10，tan∠CAD= $\text{[math]}$ ，求AD的长．

解答题普通

如图1，P是∠BAC平分线上一点，PD⊥AC，垂足为D，以P为圆心，
PD为半径作圆.
（1）AB与⊙P相切吗？为什么？
（2）若平行于PD的直线MN与⊙P相切于T，并分别交AB、AC于M、N，设PD＝2，∠BAC＝60°，求线段MT的长(结果保留根号)．

解答题普通

1. 如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD分别与⊙O相切于点C，D，若∠CPA=40°，则∠CAD的度数为°．

填空题普通

2. 如图，在等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E、F是AC上的点，判断下列说法错误的是（）

A. 若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线 B. 若EF是⊙O的切线，则EF⊥AC C. 若BE=EC，则AC是⊙O的切线 D. 若BE= $\text{[math]}$ EC，则AC是⊙O的切线

单选题普通

3. 已知圆O的半径为R，AB是圆O的直径，D是AB延长线上一点，DC是圆O的切线，C是切点，连结AC，若 $\text{[math]}$ ，则BD的长为（）

A. 2R B. $\text{[math]}$ C. R D. $\text{[math]}$

单选题普通

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ ，点O，D分别为AB，BC的中点，连接OD ，作 $\text{[math]}$ 与AC相切于点 $\text{[math]}$ ，在AC边上取一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接DF ．

(1) 判断直线DF与 $\text{[math]}$ 的位置关系，并说明理由；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的半径．

解答题困难

2. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不重合）和另一点 $\text{[math]}$ ，给出如下定义：连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则称点 $\text{[math]}$ 是点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“等距直角拐点”．例：如图 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，因为 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，所以点 $\text{[math]}$ 是点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“等距直角拐点”．

(1) 如图 $\text{[math]}$ ，在点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 中，是点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ “等距直角拐点”的是_________；

(2) 如图 $\text{[math]}$ ，已知直线 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上．若点 $\text{[math]}$ 是点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“等距直角拐点”，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 如图 $\text{[math]}$ ，已知点 $\text{[math]}$ 在以 $\text{[math]}$ 为圆心，半径为 $\text{[math]}$ 的圆上， $\text{[math]}$ ，若在直线 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ 是点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“等距直角拐点”，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难

3. 等腰三角形是指至少有两边相等的三角形，相等的两条边叫做这个三角形的腰，另一条边叫做底边．在 $\text{[math]}$ 中，以一条弦为底边向圆的外侧作等腰三角形，我们不妨约定：当这个三角形为等腰直角三角形时，我们称这个三角形为圆的“朴实三角形”，当这个三角形为等边三角形时，我们称这个三角形为圆的“沉毅三角形”，当“朴实三角形”或“沉毅三角形”的两条边都与圆相切时，我们称这个三角形为圆的“完美三角形”．已知 $\text{[math]}$ 为半圆 $\text{[math]}$ 的直径，点 $\text{[math]}$ 为半圆弧上一动点．

(1) 如图1所示，若以 $\text{[math]}$ 为底边作 $\text{[math]}$ 的“沉毅三角形”，以 $\text{[math]}$ 为底边作 $\text{[math]}$ 的“朴实三角形”，请判断 $\text{[math]}$ 的度数是否发生变化，如果变化，请证明；如果不变，请求出 $\text{[math]}$ 的度数．

(2) 如图2所示， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“沉毅三角形”，当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切时，判断 $\text{[math]}$ 是否为“完美三角形”，如果不是，请证明；如果是，请求出 $\text{[math]}$ 的长度．

(3) 若分别以 $\text{[math]}$ 为底边作 $\text{[math]}$ 的“沉毅三角形”和“朴实三角形”，当点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 运动到点 $\text{[math]}$ 时，分别求出点 $\text{[math]}$ 运动的路径长度．

证明题困难

1. 如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO＝BO，以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D，则下列结论中错误的是（）

A. DC＝DT B. AD＝ $\text{[math]}$ DT C. BD＝BO D. 2OC＝5AC

单选题普通

2. 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，以点 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径作 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的边相切时， $\text{[math]}$ 的半径为.

填空题普通

3. 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．

（Ⅰ）求证：直线DM是⊙O的切线；

（Ⅱ）求证：DE²=DF•DA．

证明题困难