如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的点处，点A的对应点为点，且，求的长．

1. 如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=EF=FD，连接AF、AE、CE、CF，请你判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．

解答题普通

2. 如图，在边长为8cm的正方形ABCD中，动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1cm的速度向点B运动；同时动点Q从点B出发，沿线段BC以每秒3cm的速度向点C运动．当点Q到达C点时，点P同时停止，设运动时间为t秒．连接DQ并把DQ沿DC翻折交BC延长线于点F，连接DP， PQ．

（1）若S_△_ADP=S_△_DFQ ，则t的值为_______；

（2）是否存在这样的t值，使得DP⊥DF，若存在，求出t的值，若不存在，说明理由．

解答题普通

3. 如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm．如果点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以acm/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒，

（1）CP的长为 cm（用含t的代数式表示）；

（2）若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值．

（3）若点Q以（2）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动．则点P与点Q会不会相遇？若不相遇，请说明理由．若相遇，求出经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD的何处相遇？

解答题困难

1. 如图，将一个正方形纸片按下列顺序折叠，在折叠后的纸片上挖去一个三角形，然后将纸片展开，得到的图形是（）

单选题容易

2. 如图，正方形纸片ABCD：①先对折使AB与CD重合，得到折痕EF；②折叠纸片，使得点A落在EF的点H上，沿BH和CH剪下△BCH．则判定△BCH为等边三角形的依据是（）

A. 三个角都相等的三角形是等边三角形 B. 有两个角是60°的三角形是等边三角形 C. 三边都相等的三角形是等边三角形 D. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

单选题普通

3. 如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边BC，CD上，将AB，AD分别沿AE，AF折叠，点B，D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. 3

单选题普通

1. 数学活动课上，老师让同学们根据自己所学的知识去了解半角模型，探究半角模型的相关结论.

(1) 【操作发现】

如图①，将正方形纸片ABCD 折叠，使得边AB，AD都落在对角线AC上，展开正方形得到折痕AE，AF，连接EF，则∠EAF 的度数为°；

(2) 【结论猜想】

如图②，将∠EAF 绕点 A 旋转，使它的两边分别交边 BC，CD 于点 M，N，连接MN，求证：MN=BM+DN；

(3) 【迁移应用】

如图③，当点 M 在射线 CB 上时(点 B的左侧)，试探究 DN，BM，MN之间的数量关系.

实践探究题困难

2. 如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：

(1) 【课本再现】

第一步：如图1，对折矩形纸片 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，折痕为 $\text{[math]}$ ，把纸片展平；

第二步：在 $\text{[math]}$ 上选一点P，沿 $\text{[math]}$ 折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接 $\text{[math]}$ ，根据以上操作，当点M在 $\text{[math]}$ 上时， $\text{[math]}$ ___________ $\text{[math]}$ ；

(2) 【类比应用】

如图2，现将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片 $\text{[math]}$ 按照（1）中的方式操作，并延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点Q，连接 $\text{[math]}$ ，当点M在 $\text{[math]}$ 上时，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(3) 【拓展延伸】

在（2）的探究中，正方形纸片的边长为 $\text{[math]}$ ，改变点P在 $\text{[math]}$ 上的位置（点P不与点A，D重合），沿 $\text{[math]}$ 折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接 $\text{[math]}$ ，并延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点Q，连接 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时，请求出 $\text{[math]}$ 的长．

实践探究题普通

3. 如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：

(1) 【课本再现】

第一步：如图1，对折矩形纸片ABCD ，使AD与BC重合，折痕为EF ，把纸片展平；

第二步：在AD上选一点 $\text{[math]}$ ，沿BP折叠纸片，使点A落在矩形内部的点 $\text{[math]}$ 处，连接PM ， BM ，根据以上操作，当点 $\text{[math]}$ 在EF上时， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；

(2) 【类比应用】

如图2，现将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点 $\text{[math]}$ ，连接BQ ，当点 $\text{[math]}$ 在EF上时，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(3) 【拓展延伸】

在（2）的探究中，正方形纸片的边长为4cm，改变点 $\text{[math]}$ 在AD上的位置（点 $\text{[math]}$ 不与点A ， D重合），沿BP折叠纸片，使点 $\text{[math]}$ 落在矩形内部的点 $\text{[math]}$ 处，连接PM ， BM ，并延长PM交CD于点 $\text{[math]}$ ，连接BQ ，当 $\text{[math]}$ 时，请求出AP的长.

实践探究题困难

1. 如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点.将△ABE沿直线BE翻折，点A落在点F处，联结DF，那么∠EDF的正切值是.

填空题普通

2. 如图，边长为 $\text{[math]}$ 的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM=（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

3. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内.点N为线段CE上的动点，过点N作NP//EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为.

填空题困难